В статье рассматривается применение обобщенной универсальной многосеточной технологии к численному решению систем дифференциальных уравнений. Данная технология объединяет процессы адаптации уравнений к численным методам, их дискретизации методом контрольного объема и последующего применения многосеточных итераций. Технология эффективна для решения линейных и нелинейных систем на неразнесенных и разнесенных сетках. Показано, что многосеточный сегрегированный алгоритм является конкурентоспособным с совместным алгоритмом. Представлены новые способы адаптации решаемых задач к многосеточной технологии.

Рассмотрены вопросы применения теории регуляризации систем линейных алгебраических уравнений к прикладным задачам геофизики. Предложены способы редукции исходных линейных систем к системам в нормальной канонической форме, допускающим применение эффективных итерационных методов нового типа. Обсуждаются новые ортогональные преобразования, на основе которых строятся методы нахождения устойчивых приближенных решений. Приводится анализ предложенных методов с точки зрения возможностей глубокого распараллеливания вычислений и эффективного использования многопроцессорных вычислительных систем.

Решается задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка на основе локальных многочленных приближений. В основе метода лежит аппроксимация правой части дифференциальных уравнений на сегменте, длина которого равна шагу интегрирования, алгебраическим интерполяционным многочленом и последующее его интегрирование. Подробно описывается безразностный способ построения этого интерполяционного многочлена, а именно: выводится уравнение для неизвестных величин, определяющих аппроксимирующий многочлен, строится итерационный процесс решения этого уравнения, доказывается его сходимость. Отличительной особенностью этого способа является то, что в нем не вычисляются разделенные разности правой части дифференциальных уравнений, что позволяет уменьшить вычислительную погрешность искомого решения задачи Коши и его производной.

Представлен обзор последних результатов автоpoв по оценкам скорости сходимости методов регуляризации нелинейных операторных уравнений в гильбертовом и банаховом пространствах. Особое внимание уделяется вопросам необходимости условий истокообразной представимости решений для степенных оценок скорости сходимости рассматриваемых методов.

Разработана идеология приближенного моделирования динамики роста пленки окисла в полупроводниковых подложках, в которой на основе геометрического подхода проведено расширение 1-D метода Дила-Гроува на 2-D класс задач. Приводятся примеры расчетов роста подобласти двуокиси кремния SiO2 при его окислении в различных средах (O2 или H2O) и динамики границ SiO2/Si и SiO2/окислитель в широком диапазоне определяющих параметров и позиций нитридных масок, закрывающих часть поверхности кремния.

В работе представлен аналитический метод построения геометрической модели, которая может быть использована для проведения численных исследований пространственных течений в окрестности сложных конфигураций. Приведены аналитические соотношения, используемые для построения сложной геометрии корпусов, а также описание алгоритма построения геометрии изолированных крыльев переменной стреловидности по передней кромке с параболическим профилем и с плоской срединной поверхностью. Для построения геометрии составных конфигураций более высокого уровня, таких как комбинации корпус+крыло, описан алгоритм реализации стыковки составных элементов этой геометрии. Приводятся и анализируются результаты численного решения задачи пространственного обтекания крыла сверхзвукового пассажирского самолета (СПС) типа ТУ-144 при числе Маха M = 2,27 в диапазоне углов атаки от 1,3 до 8,3 градусов. Результаты расчетов сопоставляются с данными физического эксперимента.

Предложены модификации методов регуляризации для решения задач минимизации с неточно заданными входными данными, основанные на идее расширения множества. Ослаблены условия согласования характеристик погрешностей задания ограничений, определяющих множество, со стабилизатором задачи, что позволяет конструировать регуляризованные задачи из того же класса, что и исходная задача. Так, например, если исходная задача была задачей линейного программирования, то регуляризованные задачи также будут задачами того же класса. Исследована сходимость основных методов регуляризации (стабилизации, невязки, квазирешений), построен регуляризующий оператор.

Излагаются некоторые свойства рядов Чебышева, положенные в основу построения численно-аналитических методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Особое внимание уделяется вычислению коэффициентов Чебышева с помощью численного интегрирования, для чего выводится квадратурная формула Маркова с одним фиксированным узлом и весовой функцией, соответствующей ортогональной системе многочленов Чебышева первого рода. Описываются свойства частичной суммы ряда Чебышева с коэффициентами, вычисленными по формуле Маркова.

Найдено новое семейство 7-шаговых методов Рунге-Кутта порядка 6. Предложен аналитический способ вывода формул этого типа. Приведен численный пример. Показано, что коэффициенты метода, найденные аналитически, с высокой точностью совпадают со значениями, вычисленными приближенно с использованием метода Ньютона.

Рассмотрено применение проекционно-сеточного метода наименьших квадратов к обобщенной задаче плоской теории упругости с двумя большими параметрами. Для случая стандартной триангуляции области построен эффективный неявный итерационный метод. Рассмотрен специальный способ триангуляции, позволяющий решить результирующую систему линейных алгебраических уравнений прямым методом с использованием быстрого преобразования Фурье.