С помощью классической локальной предельной теоремы Б. В. Гнеденко и уточнений этой теоремы исследуется асимптотическое разложение энтропии Шеннона для суммы независимых одинаково распределенных случайных величин.

Под словом понимается просто последовательность символов из некоторого конечного алфавита. Рассматривается марковская цепь, пространством состояний которой является множество всех пар слов. Вероятности переходов зависят только от d последних символов в каждом слове, и, кроме того, выполнено условие ограниченности скачков: за единицу времени длина каждого слова не может быть изменена более чем на d. Рассматривается случай, когда динамика марковской цепи является транзиентной, т. е. с ростом времени длины слов стремятся к бесконечности с вероятностью 1. Для этого случая доказан закон стабилизации: распределение символов, стоящих на концах слов, стабилизируется, или, другими словами, сходится к некоторому предельному распределению.

Обсуждается обобщенная теорема Линдеберга--Феллера для последовательности серий случайных величин. Построена верхняя оценка в равномерной метрике. Поставлена задача построения нижних оценок.

Дается краткий обзор работ по нахождению вероятностей разорения в теории коллективного риска. Для классической модели риска предлагаются двусторонние оценки вероятности разорения. В случае, когда размеры выплат имеют экспоненциальные моменты и выполнено условие Крамера, данные оценки совпадают с полученными ранее оценками Россберга--Зигеля. В случае же "тяжелых хвостов" у размеров выплат, предлагаемые оценки являются новыми.

Рассматривается альтернирующий процесс восстановления с функциями распределения A(t) и B(t) времени безотказной работы и времени восстановления соответственно. Предполагается, что фаза безотказной работы начинается в точке t=0. Пусть P(t) обозначает вероятность безотказной работы в момент времени t. Допустим, что A(+0)=0, средняя продолжительность фазы безотказной работы равна 1, фазы восстановления -- r. Введем функцию D (t) посредством уравнения (1+ r)P0(t) = 1 + rD(t). Пусть B(t)=Br(t), r ® 0. Доказано, что при некоторых мягких допущениях для произвольного неэкспоненциального распределения A(t) неверно, что уравнение supd < t < T|D(t)| ® 0 при r ® 0 имеет место для всех положительных d и T. Случай экспоненциального распределения A(t) рассмотрен в работе Kovalenko & Birolini.

Изучается бесконечнолинейная система массового обслуживания с групповым поступлением MX|G| ¥. Пусть в начальный момент система свободна и M(t) -- максимальное число заявок, одновременно присутствующих в системе, на отрезке [0,t]. Доказана следующая теорема. Теорема 1. Если L -- максимальное число заявок в группе, то почти наверное M(t) (ln ln t)/(ln t) ® L при t ® ¥.(*) Рассмотрены также некоторые обобщения: нестационарные системы (с параметрами, зависящими от времени) и системы с неоднородными заявками. Для них доказаны теоремы монотонности. Получены условия, при которых остается верной асимптотика (*).

В статье представлен метод вычисления асимптотики при u ® ¥ вероятности P {supt Î T X(t)>u}, где X(t) -- гауссовское случайное поле с компактным параметрическим множеством в пространстве lp, 1 < p £ 2. На основе полученного результата найдена асимптотика распределения хвоста супремума lq-нормы lq-значного процесса Орнштейна--Уленбека при q > 2.

В работе даны определение и описание области нормального притяжения псевдоустойчивого распределения. Псевдоустойчивые распределения возникают в качестве предельных в задаче Б. В. Гнеденко.

В работе изучаются косые многочлены над локальным кольцом, их корни. Получены результаты, аналогичные соответствующим утверждениям о косых многочленах над телом.

Статья посвящена анализу одной из моделей ориентированного гиперграфа как частного случая системы подстановок (системы переписывания) на полугруппах. Рассматривается классификация гиперграфов, для определенного класса гиперграфов дается алгоритм перечисления путей, а также устанавливается взаимно однозначное соответствие между гиперграфами указанного класса и информационными системами Д. Скотта.