Для сингулярно возмущенных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка предложен метод решения, основанный на приближении коэффициентов асимптотического представления решения дифференциальной задачи. Рассмотрены случаи линейных задач с точкой поворота и без точек поворота, задач с разрывной правой частью, задач для квазилинейных уравнений.

Для случая ньютонова потенциала рассматривается метод Бакуса--Джильберта. Пусть распределение массы m на открытом множестве W порождает ньютонов потенциал Um, значения которого заданы на бесконечном множестве точек (yn)n Î N, лежащих вне замыкания $overline{Omega}$ множества W. Назовем распределение масс m0 решением, полученным методом Бакуса--Джильберта, если оно является проекцией распределения m (относительно скалярного произведения в L2(W)) на некоторое подпространство гармонических функций. Это подпространство может быть подпространством всех интегрируемых в квадрате гармонических функций (например, если W -- звездообразная область). Мы изучаем воспроизводящее ядро B, соответствующее этой проекции, то есть $$ m_0(x)=int _{Omega} B(x,y)m(y)dy, $$ для всех m Î L2(W).

Принадлежность системы с переменными коэффициентами тому или иному гомотопическому классу зависит от точки области, в которой рассматривается система. Многообразия вырождения разбивают первоначальную область на части. Представляет интерес изучение влияния такого вырождения на характер разрешимости граничных задач. Рассмотрена система n уравнений второго порядка -(x12+x22+¼+xn2) Duj+ l(¶)/¶xj åi=1n(¶ui)/(¶xi) = 0, j=1,¼,n, с вещественным параметром l > 0, эллиптичная везде, кроме начала координат и n-мерной сферы, на которых происходит параболическое вырождение. Доказано, что видоизмененная задача Дирихле для этой системы в шаре, как содержащем сферу вырождения, так и находящемся внутри нее, разрешима и ее решение единственно в классе ограниченных функций.

На основе сравнения экспериментальных данных по тепловым потокам и эффективным коэффициентам каталитической активности, полученных во время полетов КЛАМИ "Спейс Шаттл" и в лабораторных экспериментах , с расчетами проведено сравнение феноменологических моделей, описывающих каталитические свойства поверхности теплозащитного покрытия аппаратов многоразового использования на основе теории идеально адсорбированного слоя Ленгмюра.

Основная цель статьи -- доказательство следующей теоремы. Теорема. Пусть A -- либо кольцо Голди слева, либо кольцо, удовлетворяющее условиям максимальности и для левых, и для правых аннуляторов, G -- свободная коммутативная группа, s: G ® Aut (A) -- гомоморфизм групп. Тогда всякая однородная нильподполугруппа мультипликативной полугруппы косого группового кольца As[G] нильпотентна. Эта теорема представляет собой косой аналог одного из известных результатов теории колец -- теоремы Шока--Фишера.

Доказывается, что объем любого многогранника является корнем некоторого многочлена, коэффициенты которого не зависят от способа реализации этого многогранника в пространстве при заранее известной его метрике. Как следствие получается доказательство гипотезы "кузнечных мехов", утверждающей, что объем изгибаемого многогранника в ходе изгибания остается постоянным.

Показано, что некоторые известные "модельные" уравнения (размерности 1+1) в теории солитонов могут быть разрешены через гипергеометрические функции pFq-типа. Такой подход позволяет установить связь между "модельными" уравнениями и простыми функциональными соотношениями (в виде диаграмм) этих функций. Это дает возможность по-новому подойти к решению ряда "обратных задач" в теории солитонов и получить новые "модели" уединенных волн.

Пусть R,R' -- первичные кольца характеристики 2, причем одно из них без обобщенных полиномиальных тождеств. Тогда всякий лиев изоморфизм j: R ® R' имеет вид s + t, где s -- изоморфизм или антиизоморфизм кольца R в центральное замыкание кольца R' и t -- аддитивное отображение кольца R в расширенный центроид кольца R'. Подобное утверждение справедливо и для лиевых автоморфизмов кольца матриц порядка n ³ 3 над алгебраически замкнутым полем.

Доказано обобщение теоремы Аартса--Фоккинка--Вермеера (k=1 и пространство метризуемо). Для любых k штук свободных гомеоморфизмов n-мерного паракомпакта на себя число раскраски не превосходит n+2k+1. В качестве приложения получено, что для свободного действия конечной группы G на нормальном (конечномерном паракомпактном) пространстве X число раскраски LS и род K пространства связаны соотношением LS(X;G)=K(X;G)+|G|-1 ( ≤ dimX+|G|). Отсюда получается, что при любых числах n и k для свободного действия группы G=Z2k+1 на пространстве G*G*...*G в первой теореме имеет место равенство. Показано, что для любых k штук попарно коммутирующих свободных непрерывных отображений n-мерного бикомпакта в себя число раскраски не превосходит n+2k+1. Доказано обобщение теоремы Штайнлайна (свободный периодический гомеоморфизм), давшего отрицательное решение одной проблемы Люстерника. Для любого свободного отображения бикомпакта в себя число раскраски не превосходит учетверенного числа Хопфа.

Получен критерий секвенциальной полноты пространства Cλ(X) непрерывных вещественных функций на X в топологии равномерной сходимости на элементах семейства λ ограниченных подмножеств X.