Статья представляет собой запись специального курса, прочитанного автором в Независимом Московском университете, посвященного подробному изложению взаимосвязей между солитонными уравнениями, бесконечномерным грассмановым многообразием и якобианами алгебраических кривых, благодаря которым доказывается (ослабленная) версия гипотезы С. П. Новикова (основанной на результатах И. М. Кричевера) о выделении якобианов среди всех абелевых торов (проблема Шоттки) путем проверки того, будет ли (немного подправленная) тэта-функция заданного абелева многообразия решением нелинейного дифференциального уравнения Кадомцева--Петвиашвили.

В статье изучаются свойства радикалов полугрупповых колец 2-нильпотентных полугрупп. Получена связь сепаративной конгруэнции на 2-нильпотентной полугруппе с наднильпотентными радикалами, а также характеризация радикалов Левицкого и Джекобсона для некоторого класса полурешеток 2-нильпотентных групп.

С помощью техники Стейна--Г¸тце--Барбура оценивается близость функционала определенного класса от изучаемого процесса типа взвешенных частных сумм к тому же функционалу от соответствующего гауссовского процесса. Упомянутые процессы строятся по случайным полям, заданным на решетке $ mathbb{Z}^d $ и обладающим свойством слабой ассоциированности или отрицательной зависимости.

Исследуются свойства делимости (НОД, НОК, быть полукольцом Безу) в полукольцах непрерывных неотрицательных вещественнозначных функций, определенных на топологическом пространстве X. Рассматриваются соответствия между решеткой идеалов кольца C(X) и решеткой идеалов полукольца C+(X). Получены новые характеризации F-пространств. Изучаются конгруэнции на абстрактных полукольцах. Описаны максимальные конгруэнции полуколец C+(X). Показано, что идеальность всех конгруэнций на полуполе U(X) всевозможных непрерывных положительных функций на X равносильна псевдокомпактности пространства X.

Описан класс совместных систем m линейных уравнений с n k-значными неизвестными, имеющих полиномиальную трудоемкость решения, и для числа ν k(n,m) систем класса найдены точная и асимптотические формулы. В частности, при n,m → ∞ так, что m/n=(1-1/k)+ ω n-1/2, где ω → + ∞, почти все совместные системы с матрицей с общим положением столбцов решаются за полиномиальное время.

Изучаются принципы компьютерного моделирования шагающих механизмов. Обсуждаются автоматический вывод уравнений движения в символьной форме, построение управления, взаимодействие механизма с опорной поверхностью. Представлены компьютерные модели шестиногого и двуногого механизмов и результаты их численного исследования.

В статье доказана теорема существования и единственности решения обратной задачи для оператора Штурма--Лиувилля по смеси собственных значений двух краевых задач (Дирихле и Неймана).

Доказывается несколько теорем о глобальной разрешимости задачи Коши с возрастающими на бесконечности начальными данными для одномерных неявно вырождающихся параболических уравнений второго порядка, содержащих под знаками степенных функций как искомое решение, так и его производную по пространственной переменной.

Строится следящая область для системы, состоящей из двух равномерно и прямолинейно движущихся отрезков. Показывается, что граница следящей области состоит из прямолинейных участков и дуг окружностей и что следящая область может иметь больше двух компонент связности.

Рассматривается краевая задача на отрезке для дифференциального уравнения n-го порядка с полиномиальным вхождением спектрального параметра λ в коэффициенты уравнения и краевые условия. В общем случае кратных корней характеристического полинома по Тамаркину вычислены регуляризованные следы, т. е. суммы вида ∑ k[ λ km-Am(k)], m ∈ N, где λ k -- собственные значения краевой задачи, а Am(k) -- вполне определенные числа, обеспечивающие сходимость рядов.