Мы доказываем, что в семействе всех метризуемых сепарабельных пространств рациональной размерности ≤ n существует универсальный элемент.

В работе приведено условие (2), которое оказывается эквивалентным тому, что семейство естественно возникающих в выпрямляемом пространстве окрестностей диагонали образует квазиравномерность. Из этой квазиравномерности легко получить равномерность, поэтому выпрямляемое пространство, обладающее свойством (2), вполне регулярно. Условие (2) оказывается полезным и для доказательства других теорем.

С использованием алгебраической характеризации нульмерных отображений автором ранее были построены универсальные компакты Z(B,H) для компактов, допускающих нульмерное отображение в данный компакт B, где H -- семейство функций на B, разделяющее точки и замкнутые множества. С помощью характеризационной теоремы М. Бествины доказывается, что для B=Sn и подходящего семейства H из вещественных частей квадратичных функций на Sn универсальный компакт Z(B,Sn) совпадает с менгеровским универсальным компактом μ n. В качестве приложения кольцо функций CR( μ n) описывается как замыкание кольца многочленов CR(Sn)[u1,u2,...,uk,...] от элементов, являющихся квадратными корнями некоторых элементов hk+ алгебры CR(Sn). Другое приложение относится к представлению μ n в качестве обратного предела вещественных алгебраических многообразий. Комплексификация этой конструкции приводит к компакту E2n, являющемуся обратным пределом компактификаций комплексных алгебраических многообразий без особенностей, содержащему μ n в качестве множества неподвижных точек инволюции, определяемой комплексным сопряжением. На E2n действует произведение счетного числа циклических групп второго порядка; пространство орбит этого действия есть компактификация касательного расслоения к сфере Sn.

Для каждой топологической группы H, являющейся Q∞-многообразием, существует топологическая группа, являющаяся R∞-многообразием и отображающаяся на H посредством гомоморфизма достаточной степени мягкости.

Рассматривается применения языка ростков множеств и функций в послойной общей топологии: доказываются аналоги леммы Урысона для фильтрующихся пространств и непрерывных отображений, в терминах ростков множеств дается описание понятия близости на отображении (в смысле В. П. Норина и Б. А. Пасынкова).

Цель статьи -- перенести понятия расщепляющих и совместно непрерывных топологий пространств функций на произведения пространств, представить вытекающую отсюда новую теорию двойственности между топологиями пространств функций и топологиями произведений пространств, обобщить эти теории на битопологические пространства.

Доказывается, что κ-замкнутый образ Gδ-плотного подмножества произведения метрических пространств с 1-й аксиомой счетности метризуем. Также доказано, что множество точек, внутренность прообраза которых непуста, является σ-дискретным в κ-замкнутом образе некоторых подмножеств тихоновского произведения пространств с σ-дискретной π-базой, а граница прообраза любой q-точки образа, являющегося κ-замкнутым образом некоторых подмножеств произведения полных по Дьедонне пространств относительно псевдокомпактна.

Доказывается, что из слабой нормальности пространства замкнутых подмножеств счетнокомпактного пространства X следует бикомпактность X. Приводится пример, показывающий, что условие счетной компактности X является существенным. Также доказывается, что из слабой нормальности достаточно большой степени пространства X следует бикомпактность X.

Топологическое пространство (X, τ ) называется взбитым (upholstered), если для каждой квазипсевдометрики q на X, такой что τ q ⊆ τ, найдется квазипсевдометрика p на X, для которой τ q ⊆ τ p ⊆ τ. Показано, что любое взбитое пространство является совершенным паракомпактным регулярным пространством и что любое совершенное компактное регулярное пространство взбито. Каждое полукружевное (semi-stratifiable) паракомпактное регулярное пространство взбито, и каждое квазиметризуемое взбитое пространство метризуемо. Свойство взбитости сохраняется замкнутыми непрерывными сюръективными отображениями.

Непрерывное отображение f: X → Y параллельно пространству Z, если оно вкладывается в проектирование топологического произведения Y × Z на Y. На непрерывные отображения счетного функционального веса (т. е. отображения, параллельные гильбертову кирпичу) конечномерных в смысле dim тихоновских пространств распространены теоремы Гуревича (о возможности нульмерно и непрерывно отобразить k-мерный метризуемый бикомпакт в k-мерный куб) и Н¸белинга--Понтрягина--Лефшеца (о вложимости k-мерного метризуемого бикомпакта в (2k+1)-мерный куб).