Рассматриваются вопросы единственности точного решения в классах Гельдера и построения устойчивых приближенных решений для обратной задачи об определении правой части в квазилинейном параболическом уравнении общего вида по дополнительной информации, заданной в конечный момент времени.

В работе дается теоретическое обоснование численной процедуры решения задачи Коши для уравнения Шредингера с использованием преобразования Фурье-Гаусса. Выясняются достаточные условия, которым должны удовлетворять задача (потенциал) и начальные условия.

В работе рассмотрен ряд методов, позволяющих численно решать частичные спектральные задачи для уравнений Стокса. Задача состоит в вычислении нескольких минимальных собственных чисел и соответствующих собственных функций, а при наличии многомерных собственных подпространств --- в построении в каждом из них базиса. Приводится весь набор алгоритмов и примеры расчета задач в прямоугольных областях.

В данной работе рассмотрена модификация итерационного алгоритма на основе ряда Неймана с вэйвлет-фильтрацией на каждом шаге. Вычислительный эксперимент показал, что для малоракурсной томографии новый алгоритм позволяет достичь лучшей точности реконструкции в сравнении с алгоритмами Гершберга-Папулиса, максимума энтропии и обратного проецирования с фильтрацией. Данный вывод получен как для гладких, так и для разрывных моделей.

Рассмотрена задача восстановления сигналов в системах, описываемых дифференциальными уравнениями гиперболического типа при наличии цветных шумов в измерениях. Как известно, задача линейной фильтрации в этом случае, вообще говоря, некорректна. Предложен метод нахождения приближенного решения задачи, основанный на идее регуляризации А.Н. Тихонова и сведении задачи линейной фильтрации в системах с операторными коэффициентами к задаче линейной фильтрации в системах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Доказана сходимость алгоритма решения задачи.

Рассмотрены проблемы устойчивого решения достаточно широкого класса некорректных вариационных задач (задач обобщенной минимизации). Указаны условия, гарантирующие сходимость обобщенных методов регуляризации, невязки и квазирешений в исходном пространстве, а также усиленную сходимость при некоторых дополнительных условиях на функционалы. Выводы работы существенно обобщают ряд результатов, полученных ранее для линейных и нелинейных уравнений с неограниченными операторами. Исследовано влияние ошибок в задании как исходного, так и стабилизирующего функционалов. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ.

В работе рассмотрена задача тепловой конвекции в жидком ядре Земли. На основе предположений об уменьшении характерных масштабов конвекции, вызванного быстрым вращением Земли, предложена модель подсеточной вязкости, используемая далее в крупномасштабной модели. Рассмотренный подход позволяет моделировать близкие к реальным режимы с малыми числами Экмана и Россби и достаточно большим числом Рэллея. Полученные оценки средней кинетической энергии согласуются с наблюдениями. Модель включает в рассмотрение вращение твердого ядра под воздействием вязких сил.

В работе рассматриваются вопросы использования запасов чувствительности при решении обратных коэффициентных задач. Показываются возможности построения новых алгоритмов минимизации функции невязки и новых критериев прерывания минимизационных процессов. Использование запасов чувствительности демонстрируется на численном решении модельной задачи идентификации коэффициента фильтрации трехмерного неоднородного напорного пласта.

Исследуется проблема единственности в классах Гельдера для обратных задач с граничным переопределением, связанных с нахождением неизвестной правой части в квазилинейном параболическом уравнении общего вида. Дано обоснование метода квазирешений для построения устойчивых приближенных решений этого класса некорректных задач.

В работе на ряде тестовых примеров показано, что потенциалы нулевого радиуса можно с успехом использовать для конструирования алгоритма численного решения одномерной задачи рассеяния. Предложен класс сепарабельных потенциалов, эквивалентных потенциалам нулевого радиуса, которые позволяют решать трехмерную задачу рассеяния при сохранении требования ограниченности волновой функции.