Решается задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка на основе локальных многочленных приближений. В основе метода лежит аппроксимация правой части дифференциальных уравнений на сегменте, длина которого равна шагу интегрирования, алгебраическим интерполяционным многочленом и последующее его интегрирование. Подробно описывается безразностный способ построения этого интерполяционного многочлена, а именно: выводится уравнение для неизвестных величин, определяющих аппроксимирующий многочлен, строится итерационный процесс решения этого уравнения, доказывается его сходимость. Отличительной особенностью этого способа является то, что в нем не вычисляются разделенные разности правой части дифференциальных уравнений, что позволяет уменьшить вычислительную погрешность искомого решения задачи Коши и его производной.

Представлен обзор последних результатов автоpoв по оценкам скорости сходимости методов регуляризации нелинейных операторных уравнений в гильбертовом и банаховом пространствах. Особое внимание уделяется вопросам необходимости условий истокообразной представимости решений для степенных оценок скорости сходимости рассматриваемых методов.

Предложены модификации методов регуляризации для решения задач минимизации с неточно заданными входными данными, основанные на идее расширения множества. Ослаблены условия согласования характеристик погрешностей задания ограничений, определяющих множество, со стабилизатором задачи, что позволяет конструировать регуляризованные задачи из того же класса, что и исходная задача. Так, например, если исходная задача была задачей линейного программирования, то регуляризованные задачи также будут задачами того же класса. Исследована сходимость основных методов регуляризации (стабилизации, невязки, квазирешений), построен регуляризующий оператор.

Рассмотрено применение проекционно-сеточного метода наименьших квадратов к обобщенной задаче плоской теории упругости с двумя большими параметрами. Для случая стандартной триангуляции области построен эффективный неявный итерационный метод. Рассмотрен специальный способ триангуляции, позволяющий решить результирующую систему линейных алгебраических уравнений прямым методом с использованием быстрого преобразования Фурье.

Приведено описание программы для демонстрации итерационных методов решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, разработанной с использованием пакета Mathcad 7.0 Professional. Обсуждаются приемы работы со средствами анимации этого пакета.

Приведено описание программы для демонстрации итерационных методов решения краевых задач для двумерных дифференциальных уравнений эллиптического типа (граничные условия Дирихле и Неймана), разработанной с использованием пакета Mathcad 7.0 Professional.

Излагается численный алгоритм решения линейной краевой задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом ортогональной прогонки С.К. Годунова без запоминания прогоночных матриц, возникающих в процессе ортогонализации.

Рассматривается решение задачи картирования распределения химических элементов по поверхностям звезд как некорректной задачи. Минимизация функционала Тихонова с выбором параметра регуляризации по конечномерному обобщенному принципу невязки используется для построения регуляризирующего алгоритма решения рассматриваемой задачи. В качестве метода минимизации применяется метод проекции сопряженных градиентов на множество неотрицательных векторов. Рассматриваются некоторые особенности численного решения задачи минимизации для задачи картирования. Для численного решения модельных задач используется многопроцессорный компьютер. Предлагаются схемы распараллеливания исходной задачи, обсуждаются особенности их реализации.

Рассматриваются два подхода к постановке обратной задачи об определении неизвестного граничного режима для двухфазной квазилинейной проблемы Стефана с данными Коши на другой границе области. В соответствии с этими подходами вводятся понятия точного решения в классах Гельдера и обобщенного точного решения. Исследуются вопросы корректности постановки и единственности решения.

Обосновывается схема конструирования итерационных процессов решения нелинейных некорректных операторных уравнений, порождающая как известные, так и новые методы. Устанавливается устойчивость предлагаемых методов к погрешностям в исходных данных. Обсуждаются вопросы практической реализации рассматриваемой схемы.