Впервые обнаружено различие в особенностях реализации внутренних нелинейных трехмодовых вырожденных и комбинационных резонансов: во-первых, энергия, вложенная в начальную деформацию капли, переносится только от низких мод к высоким; во-вторых, в обоих направлениях. Оказалось, что вырожденные резонансы малочувствительны к значениям физических величин (например, к величине электрического заряда), определяющих точные положения резонансов: отклонения от резонансных значений сказываются лишь на доле энергии, участвующей в обмене между модами, и длительности характерного времени резонансного обмена энергией, само же взаимодействие остается резонансным.

Впервые аналитическими асимптотическими методами найдено решение задачи о нелинейных осцилляциях конечной амплитуды незаряженной капли идеальной несжимаемой электропроводной жидкости в однородном внешнем электростатическом поле в квадратичном приближении по амплитуде начальной деформации равновесной формы и по величине эксцентриситета равновесной сфероиадальной деформации капли. Выяснилось, что по сравнению с нелинейными осцилляциями заряженной капли в отсутствие поля кривизна вершин незаряженных капель, нелинейно осциллирующих во внешнем электрическом поле, заметно больше, количество же резонансных ситуаций (в смысле возможности реализации внутреннего резонансного взаимодействия мод) существенно меньше.

Впервые в асимптотических расчетах второго порядка малости по величине осесимметричной начальной деформации заряженной капли вязкой жидкости найдено аналитическое выражение для образующей ее формы, которая как функция времени представляется бесконечным рядом по корням дисперсионного уравнения и конечной суммой по номерам мод, определяющих начальную деформацию. Некоторые из компонент аналитического выражения образующей содержат в знаменателях разности частот мод, которые при определенных величинах заряда могут становиться весьма малыми, что соответствует проявлению внутреннего нелинейного резонансного взаимодействия мод. Аналитическое и численное исследование влияния вязкости жидкости на частоты осцилляций показало, что резонансные значения собственных зарядов капли с ростом вязкости смещаются в сторону больших значений. На спектр мод, возбуждающихся за счет нелинейного их взаимодействия, вязкость жидкости влияния не оказывает.

В аналитических асимптотических расчетах порядка 5/2 по амплитуде деформации сферической формы капли идеальной несжимаемой электропроводной жидкости, нелинейно-осциллирующей во внешнем однородном электростатическом поле E0, найдено выражение для напряженности поля в ее окрестности. Выяснилось, что напряженность суммарного электрического поля на вершинах капли превышает необходимую для зажигания коронного разряда уже при E0, на порядок меньшую критического значения, при котором реализуется неустойчивость капли по отношению к индуцированному заряду, т. е. при величине напряженности внешнего электростатического поля E0, регистрируемой в натурных наблюдениях в грозовых облаках.

В асимптотических расчетах второго порядка малости по амплитуде периодической бегущей капиллярно-гравитационной волны на однородно заряженной свободной поверхности вязкой несжимаемой жидкости конечной глубины найдено аналитическое выражение для временной зависимости профиля нелинейной волны. Выяснилось, что вид зависимости от вязкости жидкости и толщины ее слоя нелинейной поправки к линейному решению при переходе от толстых слоев жидкости к тонким качественно изменяется.

В асимптотических расчетах четвертого порядка малости по амплитуде периодической бегущей капиллярно-гравитационной волны на однородно заряженной свободной поверхности идеальной несжимаемой электропроводной жидкости конечной глубины найдено аналитическое выражение для временной зависимости профиля нелинейной волны, потенциала поля скоростей волнового течения жидкости, потенциала электростатического поля над жидкостью и нелинейная поправка к частоте, квадратичная по малому параметру. Выяснилось, что вид зависимости амплитуды нелинейной поправки к частоте от поверхностной плотности заряда на свободной поверхности жидкости и толщины ее слоя при переходе от толстых слоев жидкости к тонким качественно изменяется. В тонких слоях жидкости появляется зависимость резонансного значения волнового числа от величины поверхностной плотности электрического заряда, тогда как в толстых слоях жидкости величина резонансного значения волнового числа от поверхностной плотности заряда не зависит.

В рамках теории вероятностных клеточных автоматов построена дискретная модель адсорбции с возможностью перезарядки состояния и с учетом латерального взаимодействия между молекулами. Обнаружено, что данная модель приводит к возникновению организованного поведения системы с глобальной синхронизацией параметров всей системы. Переход от турбулентных (хаотических) режимов к упорядоченным происходит через возникновение локальной упорядоченности, связанной с появлением локальных ведущих центров (пейсмекеров), а также спиральных волн. Возникновение организованного поведения является результатом развития собственной внутренней неустойчивости в системе. Процесс упорядочения связан с коллективным поведением содсистем, образующих систему. Модель может быть обобщена на случай протекания химических реакций в ходе взаимодействия адсорбата с поверхностью.

В аналитических асимптотических расчетах второго порядка малости показано, что основная мода заряженной капли, обдуваемой потоком газа, при многомодовой начальной деформации равновесной формы раскачивается за счет нелинейного вторичного комбинационного резонансного взаимодействия с более высокими модами в том случае, когда сама основная мода присутствует в спектре мод, определяющих начальную деформацию. Указанное обстоятельство объясняет наблюдаемые в естественных условиях сфероидальные осцилляции большой амплитуды капель естественных жидкокапельных систем и позволяет приблизиться к пониманию закономерностей зажигания коронного разряда в окрестности капель в грозовых облаках и инициирования разряда молнии.

Найдено решение начальной краевой задачи о расчете формы заряженного пузырька в вязкой несжимаемой диэлектрической жидкости как функции времени в линейном приближении по амплитуде исходной деформации. Рассмотрены как центрально симметричные пульсации, так и осцилляции формы при неизменном объеме. Показано, что форма пузырька, а также поля скоростей и давлений жидкости в его окрестности как функции времени, представляются конечными суммами по номерам изначально возбужденных мод и могут быть записаны в виде двух слагаемых, первое из которых --- сумма по корням дисперсионного соотношения, а второе представляется несобственным интегралом. В асимптотиках малой и большой вязкостей соответствующие аналитические выражения принимают простые формы, не содержащие интегралов. Выяснилось, что зависимость от вязкости жидкости величины декремента затухания поверхностных осцилляций пузырька немонотонна как для радиальных пульсаций, а различна в асимптотиках малых и больших вязкостей. Частоты радиальных пульсаций и поверхностных осцилляций пузырька при варьировании вязкости жидкости изменяются монотонно. PACS: 47.55.dd

С помощью аналитических асимптотических методов найдено решение задачи о нелинейных осцилляциях заряженной капли идеальной несжимаемой электропроводной жидкости, в электростатическом подвесе, в квадратичном приближении по двум малым параметрам: амплитуде осцилляций и величине ревновесной деформации формы капли в электростатическом поле. Для аналитического решения задачи характерно разложение искомых величин по полуцелым степеням малого параметра. Выяснилось, что и заряд капли, и внешнее гравитационное поле вносят вклады как в форму капли, так и в нелинейные поправки к частотам осцилляций, и в критические условия реализации неустойчивости капли по отношению к поверхностному заряду. При зарядах капли, близких к критическим, форма нелинейно-осциллирующей капли существенно отличается как от сферы, так и от сфероида, что необходимо учитывать при интерпретации экспериментальных данных. PACS: 47.55.D-