Получены критерии ограниченности искажения отображения через интегральную оценку его функции кратности без каких-либо априорных предположений о дифференциальных свойствах этого отображения. Наиболее ясную и в некотором роде окончательную форму имеет результат для комплексных функций f:Δ⊂ C→ C одной комплексной переменной. Найденные результаты распространены на случай многомерных систем уравнений Бельтрами.

Рассмотрена задача об определении двух коэффициентов σ(x), q(x) в гиперболическом уравнении. Коэффициент σ(x) стоит перед первой производной по t, а коэффициент q(x) — перед младшим членом. Предполагается, что эти коэффициенты малы в некоторой норме и носитель их содержится внутри круга D. Источник, инициирующий колебания, имеет вид импульсной функции δ(t),δ(x · ν), локализованной на прямой t=0, x · ν=0. Здесь ν — единичный вектор, играющий роль параметра задачи. Акустическое поле, вызванное этим источником, приложенным вне D, измеряется в точках границы области D вместе с производной по нормали на некотором временном интервале фиксированной длины T, отсчитываемом с момента прихода сигнала от источника для двух различных значений параметра ν. Доказано, что при достаточно большом T задаваемая информация однозначно определяет искомые коэффициенты. Получена оценка условной устойчивости решения рассматриваемой задачи.

Рассмотрена задача об определении трех коэффициентов c(x), σ(x), q(x) в гиперболическом уравнении. При этом коэффициент c(x) стоит перед оператором Лапласа, σ(x) — перед первой производной по времени, а q(x) — перед младшим членом. К такой задаче приводится обратная задача электродинамики об определении электродинамических параметров изотропной среды в предположении, что свойства среды и внешний ток не зависят от одной из координат. Предполагается, что коэффициенты c(x)-1, σ(x), q(x) малы в некоторой норме и носитель их содержится внутри некоторого круга B. Это эквивалентно предположению, что электродинамические параметры среды близки к постоянным. Принимается, что источник, инициирующий колебания, имеет вид импульсной функции δ(t),δ(x · ν), локализованной на множестве t=0, x · ν=0. Здесь ν — единичный вектор, играющий роль параметра задачи. Электромагнитное поле, вызванное этим источником, приложенным вне B, измеряется в точках границы области B на некотором временном интервале фиксированной длины T, отсчитываемом с момента прихода сигнала от источника для трех различных значений параметра ν. Доказано, что при достаточно большом T задаваемая информация однозначно определяет искомые коэффициенты. Получена оценка условной устойчивости решения рассматриваемой задачи.

Рассматривается некоторый класс систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Проводится коррекция разностных схем, соответствующих исследуемым уравнениям, для обеспечения согласованности между дифференциальными и разностными системами в смысле устойчивости нулевого решения. Получены условия, при выполнении которых возмущения не нарушают асимптотической устойчивости решений разностных систем.

Приведены достаточные условия асипмтотической устойчивости стационарного решения задачи о протекании однородной несжимаемой жидкости сквозь заданную плоскую область. Речь идет о плоской задаче, которая состоит из уравнения Эйлера движения жидкости и граничных условий для ее вихря и нормальной скорости, причем нормальная скорость задается на всей границе области течения, а вихрь — лишь на той ее части, сквозь которую жидкость втекает в область. Асимптотическая устойчивость стационарного течения (по линейному приближению) установлена в предположении, что оно не имеет точек покоя и удовлетворяет некоторому условию малости, означающему, что возмущения сносятся за пределы области течения прежде, чем скажется их воздействие на основной поток. В частности, асимптотически устойчивым оказывается любое стационарное течение в прямоугольном канале, близкое к течению Куэтта без точек покоя. Кроме того, показано, что устойчивость основного течения в L2-норме для возмущения вихря влечет его устойчивость в старших нормах, зависящих, например, от производных вихря.

В рамках предложенной А. П. Копыловым концепции ω-устойчивости изучаются устойчивые классы липшицевых функций одной вещественной переменной. Получена исчерпывающая (нетривиальная) классификация таких классов и установлено, что для них справедливы оценки устойчивости в W∞1-норме.

Найден критерий того, чтобы логарифм максимального члена ряда Дирихле, область абсолютной сходимости которого есть полуплоскость, на асимптотическом множестве был эквивалентен логарифму максимального члена его адамаровской композиции с любым другим рядом Дирихле из некоторого класса.

В 1954 г. Л. Ниренберг получил следующий хорошо известный результат: если $z:Uto R$, $U$ - область в $Bbb R^n$, является решением класса $C^2$ эллиптического уравнения с частными производными $$ F(x_1,dots,x_n;z;tial z/tial x_1,dots, tial z/tial x_n;tial^2 z/tial x_1^2,dots, tial^2 z/tial x_n^2)=0 $$ 2-го порядка, где $F$ - функция класса $C^1$, то тогда частные производные $tial^2 z/tial x_i tial x_j$ 2-го порядка функции $z$ локально непрерывны по Гельдеру в $U$.} Одновременно с Ниренбергом Ч. Морри получил аналогичный результат для эллиптических систем нелинейных уравнений 2-го порядка. В настоящей статье получен такой же результат, но уже для эллиптических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными произвольного порядка и весьма общего вида. В основе его доказательства лежат результаты исследований последних лет автора статьи, посвященных изучению явлений устойчивости в Сl-норме классов отображений.

Доказана теорема устойчивости в областях Джона для отображений с ограниченным искажением на группе Гейзенберга, снабженной метрикой Карно — Каратеодори.

Рассматриваются возмущенные линейные системы разностных уравнений y(n+1) = (A(n) + B(n))y(n), n≥ 0,     (1) где {A(n)} — T-периодическая матричная последовательность, т. е. A(n+T) = A(n), n≥ 0, B(n) — матрица возмущения. Предполагается, что нулевое решение системы x(n+1)=A(n)x(n), n≥ 0, асимптотически устойчиво, т. е. все собственные значения матрицы монодромии X(T) = A(T–1)… A(1)A(0) принадлежат единичному кругу {|λ| < 1}. Получены условия на возмущение B(n), при которых нулевое решение системы будет асимптотически устойчивым, а также установлена непрерывная зависимость одного класса числовых характеристик асимптотической устойчивости решений системы (1) от коэффициентов системы.