Исследуются свойства делимости (НОД, НОК, быть полукольцом Безу) в полукольцах непрерывных неотрицательных вещественнозначных функций, определенных на топологическом пространстве X. Рассматриваются соответствия между решеткой идеалов кольца C(X) и решеткой идеалов полукольца C+(X). Получены новые характеризации F-пространств. Изучаются конгруэнции на абстрактных полукольцах. Описаны максимальные конгруэнции полуколец C+(X). Показано, что идеальность всех конгруэнций на полуполе U(X) всевозможных непрерывных положительных функций на X равносильна псевдокомпактности пространства X.

Доказывается несколько теорем о глобальной разрешимости задачи Коши с возрастающими на бесконечности начальными данными для одномерных неявно вырождающихся параболических уравнений второго порядка, содержащих под знаками степенных функций как искомое решение, так и его производную по пространственной переменной.

Пусть $ mathcal {O}(U) $ -- алгебра Фреше, состоящая из функций, голоморфных в области U ⊂ C, наделенная компактно-открытой топологией. В работе изучаются свойства конечно порожденных $ mathcal {O}(U) $-модулей Фреше, обеспечивающие их свободу. В частности, показано, что любой плоский конечно порожденный $ mathcal {O}(U) $-модуль Фреше свободен.

Установлены теоремы об арифметических свойствах значений в p-адических областях решений некоторых систем функциональных уравнений.

Получен эффективный аналог третьей основной теоремы А. Б. Шидловского об алгебраической независимости значений Е-функций, удовлетворяющих системе линейных дифференциальных уравнений.

В работе изучаются функциональные системы пучков функций с операциями над ними, индуцируемыми операциями над функциями и автоматами. Исследуется алгоритмическая разрешимость задач о полноте и выразимости для функциональных систем пучков функций.

Вводится новый тип фрактальных функций одной переменной, названных двоично собственно-подобными. С помощью алгоритмов Уолша и Хаара по любой двоично собственно-подобной функции f0 строится ортонормированная система f0,f1,f2, ¼ Определение двоично собственно-подобной функции можно обобщить на случай двух и трех переменных.

Получено описание замкнутых конгруэнций на полукольцах неотрицательных непрерывных функций и полуполях положительных непрерывных функций с топологией поточечной сходимости.

Ранее автором было доказано, что ряды Фурье кусочно-монотонных функций многих переменных сходятся по Прингсхейму поточечно и в метрике C(Tm), вообще говоря, быстрее, чем ряды Фурье произвольных непрерывных функций. Основной результат статьи состоит в том, что для случая прингсхеймовской сходимости в метрике L(Tm) этот эффект исчезает.

В работе доказывается асимптотическая формула для суммы значений функции делителей.