Решена задача о построении L-полной функции над коммутативной единичной банаховой алгеброй. Эта функция имеет асимптотические элементы, но не имеет асимптотических элементов постоянной линии действия.

Статья носит характер небольшого обзора, отражает главным образом результаты С. Б. Стечкина и С. И. Зуховицкого в задаче Чебышева о наилучшем приближении посредством полиномов по конечной системе непрерывных на компакте векторных функций и посвящена памяти С. Б. Стечкина.

Дается обзор работ С. Б. Стечкина, посвященных прямым и обратным теоремам теории наилучших приближений, нахождению порядка убывания колмогоровских поперечников классов дифференцируемых функций, аппроксимативным свойствам частных сумм рядов Фурье и Тейлора, сумм Фейера и Валле Пуссена, критерию абсолютной сходимости рядов Фурье в терминах n-членных приближений.

Исследуется вопрос о сложности приближенного вычисления функций из различных функциональных компактов схемами, состоящими из элементов, реализующих заданные непрерывные операции. Для многих компактов доказано, что почти все (в смысле некоторой колмогоровской меры) функции имеют асимптотически одинаковую сложность, равную сложности самой сложной функции компакта. При некоторых естественных ограничениях на функцию L( ε ) доказано существование в рассматриваемых компактах функций, сложность ε-приближения которых по порядку равна L( ε ).

При условии расширенной гипотезы Римана доказана асимптотическая формула для количества "сдвинутых" гауссовых чисел, не превосходящих любой наперед заданной границы.

Предложен метод формализации выражений для высших производных неявной функции. Построен алгоритм вычисления этих выражений с помощью ЭВМ. В качестве примера рассмотрено уравнение Jn(x)=0, где Jn(x) -- функция Бесселя индекса n; решения n = n (x) этого уравнения аппроксимированы многочленом Тейлора. Вычислены коэффициенты аппроксимации для первых пяти нулей и исследованы численно погрешности аппроксимационных формул.

Доказывается, что объем любого многогранника является корнем некоторого многочлена, коэффициенты которого не зависят от способа реализации этого многогранника в пространстве при заранее известной его метрике. Как следствие получается доказательство гипотезы "кузнечных мехов", утверждающей, что объем изгибаемого многогранника в ходе изгибания остается постоянным.

Показано, что некоторые известные "модельные" уравнения (размерности 1+1) в теории солитонов могут быть разрешены через гипергеометрические функции pFq-типа. Такой подход позволяет установить связь между "модельными" уравнениями и простыми функциональными соотношениями (в виде диаграмм) этих функций. Это дает возможность по-новому подойти к решению ряда "обратных задач" в теории солитонов и получить новые "модели" уединенных волн.

С использованием алгебраической характеризации нульмерных отображений автором ранее были построены универсальные компакты Z(B,H) для компактов, допускающих нульмерное отображение в данный компакт B, где H -- семейство функций на B, разделяющее точки и замкнутые множества. С помощью характеризационной теоремы М. Бествины доказывается, что для B=Sn и подходящего семейства H из вещественных частей квадратичных функций на Sn универсальный компакт Z(B,Sn) совпадает с менгеровским универсальным компактом μ n. В качестве приложения кольцо функций CR( μ n) описывается как замыкание кольца многочленов CR(Sn)[u1,u2,...,uk,...] от элементов, являющихся квадратными корнями некоторых элементов hk+ алгебры CR(Sn). Другое приложение относится к представлению μ n в качестве обратного предела вещественных алгебраических многообразий. Комплексификация этой конструкции приводит к компакту E2n, являющемуся обратным пределом компактификаций комплексных алгебраических многообразий без особенностей, содержащему μ n в качестве множества неподвижных точек инволюции, определяемой комплексным сопряжением. На E2n действует произведение счетного числа циклических групп второго порядка; пространство орбит этого действия есть компактификация касательного расслоения к сфере Sn.

Рассматривается применения языка ростков множеств и функций в послойной общей топологии: доказываются аналоги леммы Урысона для фильтрующихся пространств и непрерывных отображений, в терминах ростков множеств дается описание понятия близости на отображении (в смысле В. П. Норина и Б. А. Пасынкова).