В терминах функциональной зависимости получено описание наблюдаемых функций в нелинейных динамических системах, аналитических по фазовым переменным. Для обработки измерений используются интегральные операторы. Развивается аналог теории двойственности, известной для линейных задач наблюдения и управления.

Работа посвящена доказательству некоторых асимптотических оценок для точек среднего значения конечноразностных операторов n-кратного дифференцирования.

Мы исследуем возможность аппроксимации по модулю s2 изометрических операторов в гильбертовом пространстве. Далее мы устанавливаем критерий внутренности квазисвободных автоморфизмов гиперфинитных факторов $ mathcal M $ типа II1 и типа IIIl, порождённых представлениями алгебры канонических антикоммутационных соотношений (КАС). Результаты используются для описания класса коциклической сопряжённости квазисвободных сдвигов гиперфинитных факторов $ mathcal M $.

Процедура обоснования метода Фурье для решения уравнений в частных производных, предложенная В. А. Стекловым, основана на почленном дифференцировании формального ряда Фурье, в виде которого отыскивается решение. В. А. Чернятин в своих исследованиях провёл обоснование этого метода для решения смешанной задачи, не используя почленного дифференцирования ряда, и тем самым расширил класс условий существования решения. Полученные результаты использовались им при решении задач для самосопряжённых дифференциальных операторов. Е. В. Каган, в свою очередь, обобщил результат Чернятина на случай несамосопряжённого дифференциального оператора. В данной работе содержится пример применения нового подхода к одному сингулярному дифференциальному оператору.

Рассматривается полугруппа линейных ограниченных операторов, допускающая в нуле сингулярность, не связанную с сингулярностью производящей полугруппы, при этом производящий оператор этой полугруппы не плотно задан. Изучаются дробные степени производящего оператора, и приводится теорема о разрешимости задачи Коши для дифференциального уравнения с операторным коэффициентом.

Получены теоремы о расщеплении линейного дифференциального оператора вида $$ mathcal L = frac{d}{dt} - A_0 - B A_0^{ u}colon D(mathcal L) subset C(mathbb R,mathcal Y) o C(mathbb R,mathcal Y), $$ действующего в банаховом пространстве $ C(mathbb R,mathcal Y) $ непрерывных и ограниченных функций, определённых на вещественной оси R со значениями в банаховом пространстве $ mathcal Y $. Линейный оператор $ A_0 colon D(A_0) subset mathcal Y o mathcal Y $ является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы операторов, и его спектр не пересекается с мнимой осью iR, A0n, n Î [0,1), -- дробная степень оператора A0, и $ B colon C(mathbb R,mathcal Y) o C(mathbb R,mathcal Y) $ -- линейный ограниченный оператор.

В работе изучается вопрос о нижней оценке нормы оператора свёртки. Доказано, что если 1 < p £ q < +¥, $ K(x) geq 0 forall x in mathbb{R}^n $ и оператор $$ (Af)(x) = int_{mathbb{R}^n} K(x-y)f(y)dy = K*f $$ ограниченно действует из Lp в Lq, то существует константа C(p,q,n), такая что $$ C sup_{e in Q(C)} frac{1}{|e|^{1/p-1/q}} int_e K(x)dx leq |A|_{L_p o L_q}. $$ Здесь Q(C) -- множество всех измеримых по Лебегу множеств конечной меры, удовлетворяющих условию |e+e| £ C × |e|, |e| -- мера Лебега множества e. Если 1 < p < q < +¥, оператор A ограниченно действует из Lp в Lq и $ mathfrak Q $ -- множество всех гармонических отрезков, то существует константа C(p,q,n), такая что $$ C sup_{e in mathfrak Q} frac{1}{|e|^{1/p-1/q}} iggl| int_e K(x)dx iggr| leq |A|_{L_p o L_q}. $$

Введены понятия порядка и типа линейного оператора и операторного порядка и типа вектора в счётно-нормированном пространстве. Введённые понятия иллюстрируются разнообразными примерами. При этом эффективно используется аппарат целых векторнозначных функций.

В работе характеризуются биективные аддитивные отображения, сохраняющие условия определённого вида на ранг произведения матриц. Также показано, что если аддитивное отображение строго сохраняет такое условие, то оно автоматически невырожденное.

Рассматриваются оценки суммы кратностей нулей N-й собственной функции оператора Лапласа--Бельтрами. Получены оценки сверху этой суммы в случае компактного двумерного риманова многообразия, более сильные оценки сверху для S2 и RP2 с такой же асимптотикой при N → ¥. Асимптотически лучшие оценки сверху при N → ¥ получены для случая области на плоскости.