Проведен спектральный анализ одного класса интегральных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка. Эти операторы имеют конкретные приложения в механике [1-4]. Установлена связь между собственными значениями таких операторов и нулями функций типа Миттаг-Леффлера. Приводятся достаточные условия вполне несамосопряженности.

Изучается один класс матричных дифференциальных операторов во всем пространстве. Для этого класса операторов установлены изоморфные свойства в специальных шкалах весовых соболевских пространств, а также изучены свойства регулярности решений системы дифференциальных уравнений, определяемое этими операторами. Рассматриваемый класс операторов содержит, в частности, стационарный оператор Навье — Стокса.

Рассматривается задача об отыскании необходимых и достаточных условий наличия оценки функции через некоторую дифференциальную операцию, содержащую весовую функцию и называемую в статье ρ-весовой производной.

Пусть f — непрерывная функция, определенная на Rn. Если f имеет нулевые интегралы по любой сфере, пересекающейся с данным множеством A из Rn, не содержащемся ни в какой аффинной плоскости размерности n-2, то f тождественно нулевая. Условие на размерность множества A точное.

Получена непрерывность в пространствах Харди некоторых полилинейных операторов, связанных с интегральными операторами, для случая экстремальных показателей. Такие операторы включают операторы Литтлвуда — Пэли и операторы Марцинкевича.

Даются критерии ограниченности интегральных операторов на полуоси с неотрицательными монотонными ядрами в весовых пространствах Лебега.

Получены асимптотические оценки аппроксимативных чисел интегрального оператора Харди с переменными пределами интегрирования.

Получены оценки норм типа Шаттена — Неймана аппроксимативных чисел интегрального оператора Харди с переменными пределами интегрирования.

Описан широкий класс двумерных потенциальных операторов Шредингера и Дирака, которые конечнозонны на нулевом уровне энергии, при этом спектральная кривая на этом уровне является особой: она, в частности, может иметь n-кратные точки с n ≥ 3.

Построены операторы преобразования с условиями на бесконечности для возмущенного уравнения Хилла. Показано одно применение оператора преобразования при исследовании решений некоторого нелинейного разностного уравнения.