Устанавливаются необходимые и достаточные условия, при которых оператор в пространстве всех квадратично суммируемых функций представляется в виде суммы оператора умножения на ограниченную функцию и интегрального оператора.

Исследуется обратная спектральная задача для оператора Штурма — Лиувилля с кусочно постоянным коэффициентом A(x) с разрывами в точках xk, k=1, … ,n, и величинами скачков Ak=A(xk+0)/A(xk-0). Показано, что если точки разрыва x1, … ,xn несоизмеримы, т. е. никакая их линейная комбинация с целыми коэффициентами не равна нулю, то спектральная функция данного оператора однозначно определяет все точки разрыва xk и величины скачков Ak. Найден алгоритм, позволяющий находить величины xk, Ak за конечное число шагов.

В классе введенных И. И. Бавриным интегродифференциальных операторов, специфических для поликруга, строится групповая структура относительно операции произведения. Указано два применения таких операторов к решению функциональных уравнений.

Изучается предельное поведение спектральных характеристик усеченных многомерных интегральных операторов, ядра которых однородны степени -n и инвариантны относительно группы вращений SO(n). Доказывается, что предел при τ → 0 ε-псевдоспектров усеченных операторов Kτ равен объединению ε-псевдоспектра исходного оператора K и ε-псевдоспектра оператора [Ktilde], где [Ktilde] — «транспонированный» оператор.

Даны критерии ограниченности операторов дробного интегрирования типа Римана — Лиувилля с переменными пределами между пространствами Лебега на оси.

Построены новые примеры многомерных матричных коммутирующих дифференциальных операторов, а также построен многомерный аналог иерархии Кадомцева — Петвиашвили.

Исследуется спектр оператора Лапласа — Бельтрами на некомпактных римановых многообразиях специального вида, в частности модельных многообразиях. Получен критерий дискретности спектра в терминах объема и емкости некоторых областей на многообразии.

Указаны гладкие вещественные коммутирующие дифференциальные операторы, собственные числа и собственные функции которых параметризуются главно поляризованными абелевыми многообразиями.

Рассматривается интегральный оператор $$ K_{beta}f(x)=intlimits_0^x K^{beta}(x,t)f(t) ,dt, quad x>0, 0leqbetaleq 1, Kequiv K_1.

С помощью специальных интегральных операторов устанавливаются некоторые позитивные свойства систем абсолютной сходимости для l2.