Исследуются свойства гладкости внутри рассматриваемой области решений линейного равномерно эллиптического уравнения второго порядка в самосопряженной форме без младших членов с измеримыми ограниченными коэффициентами. В терминах принадлежности специальному функциональному пространству объединяются и дополняются такие свойства решений, как принадлежность соболевскому пространству W12,loc и гёльдерова непрерывность. Показано, что установленная в работе принадлежность решений введенному пространству дает новые его свойства, не вытекающие из непрерывности по Гёльдеру и принадлежности W12,loc.

Проведен спектральный анализ одного класса интегральных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка. Эти операторы имеют конкретные приложения в механике [1-4]. Установлена связь между собственными значениями таких операторов и нулями функций типа Миттаг-Леффлера. Приводятся достаточные условия вполне несамосопряженности.

Улучшается заключение в теореме Хухро о том, что кольцо (алгебра) Ли L, допускающее(ая) автоморфизм простого порядка p с конечным числом m неподвижных точек (с конечномерной подалгеброй неподвижных точек размерности m), обладает подкольцом (подалгеброй) H, ступень нильпотентности которого(ой) ограничена функцией от p, а индекс аддитивной подгруппы |L:H| (коразмерность H) ограничен(а) функцией от m и p. Доказывается, что существует идеал, а не подкольцо (подалгебра), ступень нильпотентности которого ограничена в терминах p, а индекс (коразмерность) ограничен(а) в терминах m и p. Доказательство основано на применении метода обобщенных, или градуированных, централизаторов, созданного Е. И. Хухро в Мат. сб. 1990. Т. 181, С. 1207-1219. Важной предпосылкой является совместная теорема автора и Е. И. Хухро о почти разрешимости колец (алгебр) Ли с почти регулярными автоморфизмами произвольного конечного порядка.

Найдены минимальная система порождающих и однородная система параметров алгебры инвариантов трех матриц третьего порядка над полем произвольной характеристики.

Регулярные решения эллиптических систем второго порядка на плоскости могут быть представлены через A-аналитические функции, удовлетворяющие в рассматриваемой области операторному уравнению типа Бельтрами. Для восстановления решений по данным на участке границы области доказываются формулы типа Карлемана. Полученные формулы используются при решении задач Коши для системы уравнений Ламе, системы Навье — Стокса, а также системы уравнений упругости с остаточной деформацией.

Получены достаточные условия отсутствия глобальных решений полулинейных эволюционных дифференциальных уравнений и неравенств высокого порядка (по временной переменной). Установленные результаты обобщают известные утверждения для параболических и гиперболических уравнений. Доказательства основаны на методе пробных функций, разработанном Л. Вероном, Э. Митидиери, С. И. Похожаевым, А. Тесеем.

Доказано, что конечная группа с множеством порядков элементов, как у конечной группы L, граф простых чисел которой имеет по крайней мере три компоненты связности, обладает (единственным) неабелевым композиционным фактором, изоморфным L, за исключением случая, когда L изоморфна знакопеременной группе степени 6.

Автономный процесс может быть описан либо в рамках арифметики второго порядка, либо близкой к ней теории Цермело — Френкеля (без аксиомы степени), что удобно. Ключевую роль играет следующий результат: доказывается, что если какой-нибудь автономный оракул дает модель для арифметики второго порядка, то он автоматически дает модель для теории Цермело — Френкеля (без аксиомы степени), которая естественно интерпретируется на наследственно-счетных множествах, легко представимых посредством счетных деревьев с обрывом цепей. Вообще, любой автономный процесс может быть описан в системе Цермело — Френкеля (без аксиомы степени), причем это описание абсолютное относительно любой оракульной модели. Следовательно, не может быть автономного процесса, дающего модель для полной теории арифметики второго порядка.

Рассматривается управляемая система, описываемая нелинейным эволюционным уравнением второго порядка, определенным на эволюционной тройке банаховых пространств (тройка Гельфанда) со смешанным многозначным ограничением на управление, значениями которого являются невыпуклые замкнутые множества. Наряду с исходной системой рассматривается система со следующими ограничениями на управление: ограничение, значениями которого являются замкнутая выпуклая оболочка значений исходного ограничения; ограничение, значениями которого являются экстремальные точки овыпукленного ограничения, одновременно принадлежащие и исходному ограничению. Под решением системы понимается допустимая пара «траектория-управление». В данной части работы изучаются вопросы существования решений управляемой системы с различными видами ограничений и плотность множества решений с невыпуклыми ограничениями в множестве решений с овыпукленными ограничениями.

Изучаются идеалы в пространстве целых функций конечного порядка и типа в плоскости. Получены необходимые и достаточные условия, при которых идеал, состоящий из функций, обращающихся в нуль на общих нулях системы из N функций, ими порождается.