Получены точные оценки снизу верхних пределов отношений неванлинновских характеристик дельта-субгармонической в верхней полуплоскости функции.

Продолжаются исследования, начатые в первой части. Основное внимание уделено граничности множества допустимых пар «траектория-управление» системы с невыпуклыми ограничениями в множестве допустимых пар «траектория-управление» системы с овыпукленными ограничениями. Даны необходимые и достаточные условия замкнутости в соответствующих функциональных пространствах множества допустимых пар «траектория-управление» системы с невыпуклыми ограничениями. На примере управляемой гиперболической системы представлена интерпретация полученных абстрактных результатов. В качестве приложения рассмотрена задача минимизации интегрального функционала на решениях управляемой системы.

Доказывается, что если конечная группа ранга r допускает автоморфизм varphi простого порядка, имеющий ровно m неподвижных точек, то она обладает varphi-инвариантной подгруппой (r,m)-ограниченного индекса, которая нильпотентна r-ограниченной ступени (теорема 1). Тем самым для случая автоморфизма простого порядка усиливаются ранее полученные результаты Шалева, Хухро и Хайкина-Запирайна. Доказательство основано, в частности, на результате о регулярных автоморфизмах колец Ли (теорема 3). По модулю известных результатов общий случай сводится к случаю конечных p-групп. Для сведения к кольцам Ли используются также мощные p-группы, для которых доказывается полезный факт, позволяющий «склеивать» ступени нильпотентности факторов определенных нормальных рядов (теорема 2).

Осуществляется машинно-оракульное моделирование арифметики II-го порядка средствами итерированной клиниевской вычислимости. Искомый оракул строится посредством пульсирующего трансфинитного процесса, представляющего собой модификацию аналогичного процесса, использованного Н. В. Белякиным для решения частного случая этой задачи.

Изучены композиционные факторы конечной неразрешимой группы с множеством порядков элементов, как у простой унитарной группы U3(q) для нечетного q. В частности, доказано, что при q>5 (единственный) неабелев композиционный фактор такой группы изоморфен U3(q).

Для уравнения $$ u_{xxy}+a^{2,0}u_{xx}+a^{1,1}u_{xy}+a^{1,0}u_{x}+a^{0,1}u_{y} +a^{0,0}u=f, tag{1} $$ где $a^{i,j}$, $i=0,1,2$, $j=0,1$, $a^{2,1}equiv 1$, $f$ — заданные, а $u$ — искомая действительные функции, рассмотрена задача типа Дарбу $$ (M_iu_{xx}+N_iu_{xy}+P_iu_x+Q_iu_y+S_iu)big|_{OP^0_{varkappa(i)}} = f_i, tag{2} $$ где $M_i$, $N_i$, $P_i$, $Q_i$, $S_i$, $f_i$, $i=1,2,3$, — заданные действительные функции, $OP_1^0 $ и $OP_2^0 $ соответственно отрезки кривых: $gamma_1:y=gamma_1(x)$, $0leq xleq x_0;$ $gamma_2:x=gamma _2(y)$, $0leq yleq y_0;$ $varkappa(1)=1$, $varkappa(i)=2$, $i=2,3.$ Для задачи (1), (2) введено определенное банахово пространство $B_{alpha}$, $ alpha geq 0.$ Указывается такое число $alpha_0$, что при $alpha >alpha_0 $ задача (1), (2) однозначно разрешима в пространстве $B_alpha$, а при $alpha < alpha_0 $ она нормально разрешима по Хаусдорфу в $B_{alpha}$ и ее индекс $varkappa$ равен $+infty$. В частности, соответствующая (1), (2) однородная задача имеет бесконечное множество линейно независимых решений.

Рассматривается вопрос о разрешимости краевой задачи для дифференциального уравнения вида Au - Bu + Su = f(t,x),   t ∈ (0,1), x ∈ Ω Rn , где A = A(t,Dt) — обыкновенный дифференциальный оператор порядка l≥ 2 по переменной t, а оператор B=B(x,Dx) порядка 2ν по переменным x=(x1,x2,… ,xn) является равномерно эллиптическим в  overlineΩ, S=S(t,x,Dt,Dx) — дифференциальный оператор меньшего порядка, чем порядки A и B. Особенностью задачи является тот факт, что перед старшей производной в операторе A коэффициент может менять знак на интервале (0,1), т. е. данное уравнение является уравнением смешанного типа.

Рассматривается краевая задача для нелинейной автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных на полубесконечном интервале. Наложены ограничения на якобиан, при выполнении которых решение задачи существует и единственно. Для переноса краевых условий из бесконечности используется известный подход, основанный на выделении многообразия решений, удовлетворяющих предельному условию на бесконечности. Для решения вспомогательной задачи Коши применяются разложения решения по параметру.

Доказывается, что существует такая функция $f:{ N}/{ N} arrow { N}$, что для любого $({ Z} /n{ Z} )$-градуированного кольца Ли $L$ его $f(m,n)$-й коммутант $L^{(f(m,n))}$ содержится в подалгебре, порожденной множеством $[L, underbrace{L_0,dots ,L_0}_{m} ]$, где $L_0$ — нулевая компонента градуировки. Следствие: если алгебра Ли $L$ допускает полупростой автоморфизм $varphi$ конечного порядка $n$, то для любого $m$ ее $f(m,n)$-й коммутант $L^{(f(m,n))}$ содержится в подалгебре, порожденной множеством $[L, underbrace{C_L(varphi),dots ,C_L(varphi)}_{m} ]$. Ранее были известны (как для градуированных колец, так и для колец с автоморфизмами) более слабые результаты (Д. Винтер, Е. И. Хухро — П. В. Шумяцкий, Дж. Берген — П. Гржещук) со включениями в идеал, порожденный такого сорта множеством. Все эти результаты восходят к теореме В. А. Крекнина о разрешимости кольца Ли с регулярным автоморфизмом конечного порядка ($C_L(varphi )=0$ или $L_0=0$).

Дано полное описание групп Фробениуса, порожденных двумя элементами порядка 3