Доказана некоммутативная интегрируемость магнитного геодезического потока, задаваемого формой Кириллова на орбите присоединенного представления компактной полупростой группы Ли. Отсюда вытекает, что на односвязном симплектическом многообразии, на котором транзитивно действует компактная полупростая группа Ли (т. е. многообразие однородное) магнитный геодезический поток, задаваемый однородной симплектической формой и некоторой метрикой, интегрируем в некоммутативном смысле.

Получено явное представление в виде многообразия Данвуди всех циклических разветвленных накрытий торических узлов типа $(p,mp±1)$ с p>1, m>0.

Для параболического уравнения со сносом на римановом многообразии положительной кривизны получено представление логарифмического градиента в виде суммы двух векторных полей, одно из которых известно, а другое ограничено. Задача рассмотрена при условии достаточно быстрого убывания на бесконечности поля сноса.

Пусть f — непрерывная функция, определенная на Rn. Если f имеет нулевые интегралы по любой сфере, пересекающейся с данным множеством A из Rn, не содержащемся ни в какой аффинной плоскости размерности n-2, то f тождественно нулевая. Условие на размерность множества A точное.

Существует хорошо известная проблема распознавания римановых многообразий по спектру их оператора Лапласа — Бельтрами, т. е. проблема эквивалентности изоспектральности и изометричности многообразий. В данной работе эта проблема решена для компактных плоских трехмерных многообразий.

Изучаются различные примеры погруженных в коразмерности 1 многообразий на предмет допустимых комбинаций эйлеровых характеристик подмногообразий кратных точек самопересечения. Получен полный ответ для погруженных 5-многообразий в 6-евклидово пространство. Изучены связи с другими конструкциями в дифференциальной топологии и теории особенностей.

Показана разрешимость систем уравнений, смоделированных на определенных спайнах трехмерных многообразий. Расширен результат А. Дункана и Дж. Хауи о двумерном остове трехмерного тора.

Построены аналог формы Фубини — Штуди ω0 для двумерных торических многообразий X и эталонная форма ω, являющаяся ядром интегрального представления для голоморфных функций в d-круговых областях из Cd, связанных с двумерными торическими многообразиями X. Показано, что это ядро является замкнутой дифференциальной формой в Cd, с которой ассоциируется положительная форма ω0 на X.

Для параболического уравнения со сносом на римановом многообразии неположительной кривизны построено фундаментальное решение. Получены оценки этого фундаментального решения в зависимости от условий на поле сноса.

Построены новые примеры многомерных матричных коммутирующих дифференциальных операторов, а также построен многомерный аналог иерархии Кадомцева — Петвиашвили.