В этой статье мы рассматриваем наиболее плохие случаи структуры SV-кольца. Мы даём две конструкции SV-колец с сильным ограничением на все Soca(R) лоевой цепочки.

Элемент прямого произведения колец р-адических чисел по всем простым числам р принадлежит кольцу R псевдорациональных чисел, если почти все его компоненты равны одному и тому же рациональному числу. Понятие такого кольца ввёл А. А. Фомин. В настоящей работе даётся описание всех инъективных модулей над кольцом псевдорациональных чисел.

В работе исследуются локальные сжатые полугрупповые кольца над нерадикальными кольцами R ($ overline R=R/J(R) e {0} $). Доказано следующее утверждение. Пусть R -- кольцо, $ overline R e {0} $, S -- полугруппа с нулём. Кольцо R0S локально тогда и только тогда, когда: (i) существует ниль-идеал N полугруппы S, такой что S/N @ T0, где T0 -- полугруппа T (без нуля) с присоединённым нулём; (ii) RT -- локальное кольцо, а R0N -- радикальное кольцо.

Статья посвящена разрешимости задачи дискретного логарифмирования по составному модулю. Доказаны две теоремы, дающие необходимые и достаточные условия для разрешимости в некоторых случаях. Также предложен метод проверки разрешимости, аналогичный алгоритму Полига--Хеллмана для решения задачи дискретного логарифмирования.

Для каждой полугруппы S мы полностью описываем многообразия, замкнутые относительно операции перехода к S-градуированным кольцам. Кроме того, описаны все многообразия, замкнутые относительно сумм двух колец.

Модуль линейных рекуррентных последовательностей над коммутативным кольцом R можно рассматривать как алгебру Хопфа, дуальную к алгебре многочленов над кольцом R. При этом ряд понятий и операций из теории алгебр Хопфа получают интересную интерпретацию в терминах линейных рекуррентных последовательностей. Рассматриваются также некоторые обобщения: линейные рекуррентные бипоследовательности, последовательности над модулем и k-последовательности.

Пусть A -- дистрибутивное справа и слева кольцо. Для натурального числа n получен критерий проективности всех n-порождённых правых идеалов кольца A и критерий правой полунаследственности кольца A.

В работе рассматриваются стандартные базисы в кольце обыкновенных дифференциальных многочленов от одной независимой переменной, называемые также дифференциальными базисами Грёбнера по Оливье. Установлена их связь с процессом редукции, предложенным Леви. Доказано, что идеал [xp] обладает конечным стандартным базисом всего из одного элемента {xp} при так называемом b-упорядочении. Изучаются различные свойства допустимых упорядочений на дифференциальных мономах, ставится вопрос о существовании конечного стандартного базиса у произвольных конечно порождённых дифференциальных идеалов.

В данной работе мы кратко излагаем некоторые недавние результаты по элементарной эквивалентности линейных и алгебраических групп, а также приводим новые принадлежащие нам результаты по элементарной эквивалентности категорий модулей, колец эндоморфизмов модулей, решёток подмодулей модулей и групп автоморфизмов модулей.

Пусть R -- коммутативное кольцо. Доказывается, что для проверки того, что некоторое множество элементов {fa} свободной ассоциативной алгебры над R образует базис Грёбнера (относительно некоторого допустимого порядка на мономах) (двустороннего) идеала, который эти элементы порождают, достаточно проверять редуцируемость к нулю S-многочленов относительно {fa} в том и только том случае, если R -- арифметическое кольцо. Обсуждаются также некоторые связанные с этим открытые вопросы и примеры.