В статье определяется размерность Крулля (обычная и дуальная) относительно кручения. Доказывается нильпотентность первичного радикала в PI-кольцах, имеющих точный модуль с размерностью Крулля относительно нетерова кручения и равенство относительной размерности Крулля кольца и конечно порожденного точного модуля в случае, когда первичный радикал конечно порожден.

В работе изучаются косые многочлены над локальным кольцом, их корни. Получены результаты, аналогичные соответствующим утверждениям о косых многочленах над телом.

С использованием алгебраической характеризации нульмерных отображений автором ранее были построены универсальные компакты Z(B,H) для компактов, допускающих нульмерное отображение в данный компакт B, где H -- семейство функций на B, разделяющее точки и замкнутые множества. С помощью характеризационной теоремы М. Бествины доказывается, что для B=Sn и подходящего семейства H из вещественных частей квадратичных функций на Sn универсальный компакт Z(B,Sn) совпадает с менгеровским универсальным компактом μ n. В качестве приложения кольцо функций CR( μ n) описывается как замыкание кольца многочленов CR(Sn)[u1,u2,...,uk,...] от элементов, являющихся квадратными корнями некоторых элементов hk+ алгебры CR(Sn). Другое приложение относится к представлению μ n в качестве обратного предела вещественных алгебраических многообразий. Комплексификация этой конструкции приводит к компакту E2n, являющемуся обратным пределом компактификаций комплексных алгебраических многообразий без особенностей, содержащему μ n в качестве множества неподвижных точек инволюции, определяемой комплексным сопряжением. На E2n действует произведение счетного числа циклических групп второго порядка; пространство орбит этого действия есть компактификация касательного расслоения к сфере Sn.

Рассматривается решетка всех предкручений категории унитарных левых модулей над ассоциативным кольцом с единицей и описываются кольца, над которыми эта решетка имеет единственный максимальный элемент. Указаны также некоторые приложения.

Обзор посвящен основным результатам, полученным в последнее время в теории колец, градуированных полугруппами. Большое внимание уделяется также открытым вопросам, постановка которых мотивирована результатами ряда авторов.

Получены критерии определенности и совместности при любой правой части для систем линейных уравнений над артиновыми справа и квазифробениусовыми кольцами.

Находятся условия инъективности группы гомоморфизмов $ mathop{Hom} (A,B) $ как модуля над кольцом эндоморфизмов абелевой группы B или A.

Кольцо R называется кольцом с однозначным сложением (UA-кольцом), если на его мультипликативной полугруппе (R, ⋅ ) можно задать единственную бинарную операцию +, превращающую ее в кольцо (R, ⋅ ,+). Абелеву группу назовем $mathop{End}$ -UA-группой, если ее кольцо эндоморфизмов является UA-кольцом. В статье исследуются условия, при которых сепарабельная абелева группа без кручения будет $mathop{End}$-UA-группой.

Предлагается подход к изучению полулокальных полугрупповых колец с нерадикальными кольцами коэффициентов, основанный на определении строения полугруппы в целом. Доказано следующее утверждение. Пусть R -- кольцо, R ¹ J(R), S -- полугруппа с нулем z. Кольцо RS полулокально тогда и только тогда, когда: (i) R полулокально; (ii) существует ряд {z}=S0 Ì S1 Ì ¼ Ì Sn=S идеалов полугруппы S, такой что каждый фактор Si/Si-1, 1 £ i £ n, есть либо нильполугруппа, либо вполне 0-простая полугруппа; (iii) сжатые полугрупповые кольца R0(Si/Si-1), 1 £ i £ i-1, полулокальны.

В работе показано, что если A -- область главных идеалов, для которой K1Sp(A)=0, то при r ³ 2 группа Sp2r(A[X1±,...,Xn±,Y1,...,Ym]) порождается элементарными симплектическими матрицами.