Представлен алгоритм, позволяющий по заданному отрезку длины l над коммутативным артиновым кольцом главных идеалов R построить унитарный многочлен наименьшей степени, порождающий этот отрезок. Трудоемкость алгоритма составляет O(l2n) операций кольца, где n -- индекс нильпотентности радикала кольца R. Алгоритм применяется для построения канонической системы образующих идеала всех многочленов, аннулирующих заданную линейную рекуррентную последовательность над кольцом R.

Устанавливается связь между RI*-разрешимым радикалом унитарной группы и первичным радикалом кольца для случая ассоциативного кольца с инволюцией и 1/2, содержащего подходящим образом определенную систему элементов, аналогичных элементарным матрицам. Демонстрируется связь между существованием разрешимого радикала унитарной группы и нильпотентностью первичного радикала кольца.

Основной результат этой статьи состоит в следующем: подмножество A матриц размера 2 ´ 2 над кольцом Z/8Z является образом многочлена от некоммутирующих переменных с коэффициентами из этого кольца и нулевым свободным членом тогда и только тогда, когда A содержит 0 и самоподобно, т. е. a A a -1 Í A для всякой обратимой матрицы a размера 2 ´ 2.

Для ассоциативных колец с 1, градуированных группой, получен ряд эквивалентных характеризаций условия градуированной локальности.

Рассматриваются условия, при которых совместны системы линейных уравнений над не обязательно коммутативными кольцами.

Исследуются смешанные абелевы sp-группы как модули над своими кольцами эндоморфизмов. Рассматриваются эндоплоская и эндопроективная размерности таких групп. Получено полное описание эндопроективных и эндообразующих самомалых смешанных sp-групп конечного ранга без кручения.

Если A -- ограниченное дедекиндово первичное кольцо и M -- A-модуль, то M -- проективный модуль тогда и только тогда, когда M -- p-проективный непериодический модуль, причем либо M -- редуцированный модуль, либо A -- простое артиново кольцо.

Доказана эквивалентность следующих условий: (1) кольцо косых рядов Лорана A((t, f )) дистрибутивно справа и полулокально; (2) кольцо A((t, f )) является прямым произведением конечного числа цепных справа колец; (3) кольцо A((t, f )) является прямым произведением конечного числа цепных справа артиновых справа колец; (4) кольцо A является прямым произведением конечного числа цепных справа артиновых справа колец Ai, причем f (Ai)=Ai для всех i.

В работе исследуются функциональные тождества степени 2 в первичных кольцах.

Рассматриваются частоты появления r-грамм на циклах линейных рекуррентных последовательностей (ЛРП) над кольцами Галуа. При условии, что характеристический многочлен ЛРП является многочленом Галуа, получена верхняя оценка модуля отклонения частот появления r-грамм на цикле ЛРП от равновероятного случая. Эта оценка в ряде случаев улучшает ранее известные результаты, полученные для ЛРП максимального периода над примарными кольцами вычетов.