Рассматривается смешанная сингулярно возмущенная краевая задача. Построены равномерные по малому параметру асимптотические разложения решения.

Рассматриваются системы двух сингулярно возмущенных уравнений второго порядка с одинаковыми малыми параметрами. Для этих систем даются достаточные условия существования контрастной структуры типа ступеньки и строится ее асимптотика. В конце приводятся некоторые численные результаты.

В работе рассмотрена спектральная краевая задача iey''(x) + (x - l)y(x) = 0, y(-1) = y(1) = 0, где l -- спектральный параметр, e > 0 -- малый параметр. Аналитическими средствами изучаются локализация спектра, поведение собственных функций и функции Грина этой задачи.

Для сингулярно возмущенных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка предложен метод решения, основанный на приближении коэффициентов асимптотического представления решения дифференциальной задачи. Рассмотрены случаи линейных задач с точкой поворота и без точек поворота, задач с разрывной правой частью, задач для квазилинейных уравнений.

Представлены некоторые новые результаты в теории сингулярных возмущений, а именно, основные положения теории контрастных структур. Для различных контрастных структур в обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнениях, а также в уравнениях с частными производными сформулирован алгоритм построения асимптотического разложения, сформулированы теоремы существования и теоремы об устойчивости. Предложен новый метод доказательства этих теорем -- асимптотический метод дифференциальных неравенств.

Рассматривается гладкое геометрическое ограничение на управление, при котором предельная задача имеет решение с разрывным управлением, а у возмущенной задачи управление непрерывно. Доказано, что в этом случае решение разлагается в асимптотический ряд, калибровочные функции которого сложным образом зависят от малого параметра.

В задаче о возмущении уравнения КдФ выписаны уравнения модуляции параметров N-солитонного решения, которые описывают медленную деформацию амплитуд и сдвигов фаз. Показано, что сдвиг фазы каждого возмущенного солитона зависит от медленно меняющихся амплитуд всех более быстрых солитонов. Этот результат интерпретируется, как слабое взаимодействие солитонов с солитонными "хвостами".

Рассматриваются периодические решения с внутренними слоями для двумерного сингулярно возмущенного эллиптического дифференциального уравнения с различными степенями малого параметра при старших производных по разным аргументам. Доказано существование и построены асимптотики контрастных структур типа всплеска и типа ступеньки.

Рассматривается определенная система двух сингулярно возмущенных уравнений второго порядка с одинаковыми малыми параметрами. Формулируются требования, обеспечивающие существование контрастной структуры со ступеньками в обеих компонентах, и строится ее асимптотика. В конце приводятся результаты численного решения сингулярной системы более общего вида, которые демонстрируют существование контрастной структуры указанного типа.

Рассмотрена задача о симметричном соударении слабо возмущенных встречных плоских струй идеальной несжимаемой жидкости, вытекающих из каналов, при заданных законах изменения давления или скорости в бесконечно удаленных точках каналов. Поставлена и решена краевая задача для потенциала возмущенного течения. Для случая каналов с параллельными стенками при гармонических законах изменения параметров потока на бесконечности найдена форма свободных границ для различных моментов времени. Построены графики распределения коэффициента давления в различные моменты времени и его амплитуды на линии симметрии течения.