Получены условия Σ-определимости подмножества натуральных чисел в наследственно конечном допустимом множестве над моделью. Приведены условия вычислимости семейства подмножеств натуральных чисел в наследственно конечном допустимом множестве. Доказаны утверждения: для любого e-идеала I существует абелева группа без кручения A такая, что семейство e-степеней Σ-подмножеств ω в HF(A) совпадает c I; существует вполне разложимая абелева группа без кручения, в наследственно конечном допустимом множестве над которой не существует универсальной Σ-функции; для любого главного e-идеала I существует периодическая абелева группа A такая, что семейство e-степеней Σ-подмножеств ω в HF(A) совпадает c I.

Доказано, что знакопеременные группы, граф простых чисел которых распадается на три компоненты связности, с точностью до изоморфизма определяются множеством порядков их максимальных абелевых подгрупп.

Изучаются абелевы группы без кручения конечного ранга и факторно делимые смешанные группы. Для групп без кручения конечного ранга рассматривается введенный А. А. Фоминым новый инвариант — псевдорациональный ранг — и находится его связь с обычным рангом. Для факторно делимых смешанных групп найдено условие существования гомоморфизма из одной группы в другую.

Спектром группы называется множество порядков ее элементов. Мы говорим, что для данной конечной группы проблема ее распознаваемости по спектру решена, если мы знаем число попарно неизоморфных конечных групп со спектром, как у данной группы. В статье полностью решена проблема распознаваемости по спектру для конечных неабелевых простых групп, простые делители порядков которых не превосходят 13.

Согласно классической теореме Скитовича — Дармуа независимость двух линейных форм от независимых случайных величин характеризует гауссовское распределение. Близкий к теореме Скитовича — Дармуа результат был доказан Хейде, где условие независимости линейных форм заменяется симметрией условного распределения одной линейной формы при фиксированной второй. Настоящая статья посвящена аналогу теоремы Хейде для случая, когда случайные величины принимают значения в конечной абелевой группе, а коэффициенты линейных форм — автоморфизмы группы.

Пусть G — конечная группа. Определим некоммутирующий граф ∇(G) следующим образом: множество вершин составляет G Z(G), и две вершины x, y соединены ребром (пишем x ∼ y), если [x,y] ≠ 1, где [x,y]=x-1y-1xy — коммутатор x и y. Изучаются некоторые свойства такого графа. Также доказано, что для многих групп G если H — группа такая, что ∇(G)cong ∇(H), то |G|=|H|.

Частично коммутативная группа — это группа, заданная при помощи образующих и определяющих соотношений, причем все соотношения имеют вид: коммутатор некоторых образующих равен единице. Рассмотрен алгоритм, позволяющий по данному элементу группы определить, является ли он коммутатором. Тем самым обобщается результат Уикса для свободных групп.

Показано, что условие несмежности числа 2 с хотя бы одним нечетным простым числом в графе Грюнберга—Кегеля конечной группы G является при некоторых естественных дополнительных условиях достаточным для структурного описания группы G, в частности, для доказательства того, что G имеет единственный неабелев композиционный фактор. Рассматриваются также приложения этого результата к вопросу распознаваемости конечных групп по спектру.

Если G — конечная группа и A — группа автоморфизмов G с подгруппой неподвижных точек CG(A), то каждая подгруппа F в CG(A) действует на множестве орбит A в G. Особенности этого действия используются для вывода некоторых результатов о числе орбит A.

Доказано, что усредненная функция Дена относительно любого конечного представления произвольной конечно порожденной нильпотентной группы ступени 2 субкубична. Для свободной нильпотентной группы ступени 2 конечного ранга ≥ 2 отсюда следует субасимптотичность усредненной функции Дена в смысле М. Громова, что подтверждает высказанную им гипотезу.