В статье доказываются новые теоремы по проблеме Фробениуса, обобщающие некоторые ранее известные теоремы по этой проблеме. Основной прием доказательств теорем состоит во введении специфического частичного порядка на множестве целых чисел.

Выделен важный класс почти транссасакиевых структур и получена его исчерпывающая характеризация. Получено исчерпывающее описание класса транссасакиевых структур. Получена полная классификация транссасакиевых многообразий постоянной F-голоморфной секционной кривизны с неинтегрируемой структурой, а также полная классификация транссасакиевых многообразий с неинтегрируемой структурой, удовлетворяющих аксиоме F-голоморфных плоскостей.

Рассмотрен вопрос о построении точных решений в задаче быстродействия для специальных классов нелинейных управляемых систем. Эти результаты обобщают и усиливают известные результаты М. Атанса, П. Фалба и Р. Лаккосса для систем с инвариантной нормой. Постановка задачи построения точных решений для систем с интегральным инвариантом принадлежит А. М. Летову. На основе полученных результатов найдены оценки времени быстродействия для нелинейных управляемых систем определенного типа. Теоретической основой исследования является рассмотрение пары взаимно-полярных выпуклых тел, одним из которых служит область управления объекта. Исследован двумерный пример задачи быстродействия для одной билинейной системы.

Доказано, что все нетривиальные правые конгруэнции полугруппы S имеют конечные индексы в том и только том случае, если либо S -- конечная полугруппа, либо S изоморфна подполугруппе аддитивной группы целых чисел с присоединенным внешним образом нулем. Полученный результат применяется для описания полугрупповых алгебр, у которых каждый ненулевой правый идеал имеет конечную коразмерность.

В работе рассмотрены полигоны над полугруппами с направленными системами локальных единиц, прямые пределы и тензорные произведения таких полигонов; приведены примеры функторов между категориями полигонов над полугруппами с системами локальных единиц, сохраняющих прямые пределы. Кроме того, определены прямые пределы в категории полугрупп с системами локальных единиц и получены представления полугрупп и полигонов над ними в виде прямых пределов.

В статье изучается дифференциальное уравнение, полученное В. А. Марченко и Л. А. Пастуром [1], которое описывает спектральное распределение в некоторых ансамблях больших случайных матриц. В явном виде найдено решение этого уравнения, а также доказано правило, предложенное в статье [1], для нахождения интервалов действительной оси, дополнительных к спектру. Методы В. А. Марченко и Л. А. Пастура применяются в теории нейронных сетей для изучения эволюции спектра матрицы межнейронных связей, описывающей процесс быстрого сна. Исследовано асимптотическое поведение спектра; показано, что оно качественно различается в случаях, когда параметр a, соответствующий загруженности памяти запоминаемыми образами, меньше некоторого критического значения a c и когда a > a c. С точки зрения ассоциативной памяти в нейронных сетях, в первом случае в результате быстрого сна запоминаются все образы, а во втором не запоминается ни один из них.

Рассматривается обобщение условий малых сокращений на случай, когда условие C'( l ) выполняется только для достаточно больших подслов определяющих соотношений. Доказана теореме о существовании в диаграммах Ван Кампена над такими группами клетки, почти все ребра которой являются внешними. С помощью этой теоремы строятся примеры вложения полугруппы в группу любой конечной ширины.

Изучаются подпространства полного локально-выпуклого пространства H, инвариантные относительно линейного непрерывного оператора конечного порядка и типа, и подпространства, инвариантные относительно обобщенного сдвига, порожденного этим оператором. Показывается, в частности, что в каждом подпространстве, инвариантном относительно рассматриваемого оператора и допускающем спектральный синтез, содержится вектор, порождающий это подпространство. Доказывается также, что каждое подпространство, инвариантное относительно обобщенного сдвига, является инвариантным относительно оператора, порождающего этот сдвиг, и наоборот.

Доказано, что эквивалентны следующие условия: (1) кольцо рядов Лорана A((t)) является цепным справа кольцом; (2) A((t)) -- цепное справа артиново справа кольцо; (3) A -- цепное справа артиново справа кольцо.

Статья посвящена работам С. Б. Стечкина в области теории поперечников и дальнейшему развитию его идей.