В статье рассматриваются вербальные идеалы свободных конечнопорожденных алгебр Ли над полями характеристики ноль. Показывается, что такие идеалы связаны с действием универсальной обертывающей алгебры, алгебры Ли всех дифференцирований свободной конечнопорожденной алгебры Ли. Даются также оценки на кратности неприводимых компонент в модулях следствий тождеств. Для однородного тождества, порождающего неприводимый модуль степени n исследуется разложение на неприводимые компоненты его модуля следствий степени n+1. В случае двупорожденной алгебры Ли находятся также векторы старшего веса в этих неприводимых компонентах.

В работе дается описание всех попарно неэквивалентных невырожденных коммутационных факторов, заданных на конечных абелевых группах. Для каждого такого коммутационного фактора над полем характеристики 0 определяется многообразие ассоциативных алгебр, порождаемое алгеброй e-коммутативных полиномов.

В работе изучаются образы многочленов от некоммутирующих переменных в кольце матриц размера 2 ´ 2 над кольцом Галуа. Основной результат: множество матриц размера 2 ´ 2 над кольцом Галуа, радикал которого имеет индекс нильпотентности 2, является образом многочлена с нулевым свободным членом тогда и только тогда, когда оно содержит 0 и самоподобно.

Рассматриваются системы разложения, подобные ортогональным -- имеющие аналог равенства Парсеваля--Планшереля и формулу восстановления функции по разложению, аналогичную формуле восстановления для ортогональных систем. Указаны способы построения таких систем.

В работе дана классификация минимальных неособых проективных рациональных поверхностей над полем вещественных чисел, доказана теорема о разложении любого бирационального отображения между этими поверхностями на элементарные, найдена полная система соотношений между последними.

В настоящей работе мы, следуя С. Л. Вороновичу, изучаем дифференциальные исчисления на квантовых группах. Доказано, что на стандартных квантованиях простых алгебраических групп, рассматриваемых над полем K = k(q), не существует биковариантных дифференциальных исчислений. Построено ковариантное слева дифференциальное исчисление на SLq(2) и вычислены гомологии алгебры Uq(sl(2)) с коэффициентами в конечномерных модулях.

Рассматривается смешанная сингулярно возмущенная краевая задача. Построены равномерные по малому параметру асимптотические разложения решения.

Указана схема построения теории задачи Коши для дифференциальных включений второго порядка. Показано, как использовать введенные ранее автором топологические структуры в вопросах теории, связанных с краевыми задачами. При этом новые связи улавливаются и на уровне уравнений с непрерывными правыми частями.

Для (ассоциативных) полиномов f специального вида и простых алгебр Ли L решена проблема распознавания тождественности f в фактор-алгебре UL/J универсальной обертывающей UL по произвольному идеалу J, заданому своими порождающими. Основой решения является Теорема. Если l1, ¼ ,lp -- лиевы (ассоциативные) полиномы с непересекающимися наборами переменных, не являющиеся тождествами L, и f = Pi=1p li(xi1,¼, xini), то вербальный идеал Tf=Tf(UL), порожденный в UL многочленом f, совпадает с ULp. В частности, UL/Tf нильпотентна степени p.

Доказано, что разложение Дрозда--Уорфилда конечно представимого модуля над цепным кольцом в прямую сумму цепных модулей единственно.