Исследуются чистые подмодули абелевой группы как модуля над ее кольцом эндоморфизмов. В первой части работы описываются эндочистые подмодули квазиразложимой абелевой группы без кручения ранга 3. Во второй части доказывается, что чистая инъективность абелевой группы над своим кольцом эндоморфизмов равносильно ее алгебраической компактности. Этот результат обобщается на унитарные модули над ассоциативными кольцами с единицей.

В статье вводится алгебра целых t-адических чисел, зависящая от некоторого f-типа, обобщающего обычный тип Бэра для групп ранга 1. Рассматриваются свойства инвариантов построенной алгебры (f-характеристик) и изучаются некоторые свойства отношения делимости целых t-адических чисел.

Свойство P выполняется в полугруппе S потенциально, если оно выполнено в некоторой надполугруппе $T supseteq S$. Найдены необходимые и достаточные условия того, что данная пара (a,b) элементов из S принадлежит правой конгруэнции, порождённой парами (ai,bi), $i in I$, потенциально. В связи с этим исследована потенциальная разрешимость систем уравнений вида ax=b, ax=bx, ax=by.

В данной статье предлагается аналог гомологической теории банаховых алгебр для случая, когда основное поле неархимедово. Вычисляются левая глобальная гомологическая размерность и биразмерность алгебры непрерывных функций на компакте. Аналогичная проблема для банаховых алгебр над полем комплексных чисел до сих пор не решена. Вычисляются гомологические размерности идеалов данной алгебры, рассматриваемых как левые модули или бимодули.

В работе при некоторых условиях устанавливается линейная независимость над Q p-мерных векторов, координаты которых -- значения полилогарифмов в рациональных точках, и единичных векторов пространства Rp.

Пусть p -- полуполевая плоскость порядка q4 с регулярным множеством $$ Sigma = left{ egin{bmatrix} u & au v f(v) & u^q end{bmatrix} iggm| u,v,f(v) in GF(q^2)=F ight}, $$ f(v)=f0v+f1vp+¼+f2r-1vp2r-1 -- аддитивная функция в F, t нормализует поле, q=pr и p > 2 -- простое число. Если ранг плоскости 4 и f(v)=f0v или f(v)=frvq, то 2-ранг группы автотопизмов равен 3 и некоторая силовская 2-подгруппа S группы A имеет вид S=H2 × á g ñ á g1 ñ, где H2 -- силовская 2-подгруппа группы H, а g, g1 -- 2-элементы определённого вида.

Уточняется свойство почти монотонности сингулярной неразложимой М-матрицы. В существующем виде это свойство означает, что при действии упомянутой матрицы на любой вектор результатом является либо нулевой вектор, либо вектор, у которого хотя бы одна компонента положительна и хотя бы одна отрицательна. В настоящей статье явно указывается положительная и отрицательная компоненты результирующего вектора. В качестве приложения получено условие Парето-экстремальности вектор-функции, у которой матрица частных производных неотрицательна в главном. Это условие является аналогом классической теоремы Ферма о равенстве нулю производной в экстремальной точке функции. При доказательстве используются леммы, касающиеся геометрических свойств n-мерного симплекса и имеющие самостоятельный характер.

В статье даётся полная характеристика функций из некоторых классов голоморфных в круге функций в терминах модулей чезаровских средних.

На алгебры инцидентности можно смотреть как на обобщение полных матричных алгебр. В работе изучаются свойства сопряжения функций инцидентности. Методом дизъюнктных сумм найден критерий сопряжённости диагонально £-выпуклой функции f и диагонали fe. Приведены условия, при выполнении которых функция f сопряжена с функцией $ Ce+zeta_{lessdot} $ (где функцию $ Ce+zeta_{lessdot} $ можно считать аналогом жордановой клетки, определённой в теории матриц). Для частично упорядоченных множеств, удовлетворяющих этим условиям, доказана сопряжённость функций z< и $ zeta_{lessdot} $. Приведён пример частично упорядоченного множества, для которого функция z< не сопряжена с $ zeta_{lessdot} $. Полученные результаты позволяют сформулировать критерии сопряжённости диагонально £-выпуклых функций некоторых частично упорядоченных множеств.

В данной работе мы кратко излагаем некоторые недавние результаты по элементарной эквивалентности линейных и алгебраических групп, а также приводим новые принадлежащие нам результаты по элементарной эквивалентности категорий модулей, колец эндоморфизмов модулей, решёток подмодулей модулей и групп автоморфизмов модулей.