Исследуется обратная задача нахождения коэффициента теплопроводности вместе с решением уравнения теплопроводности. В качестве условия переопределения задается значение решения в финальный момент времени. Доказывается существование регулярного решения.

Рассматривается обратная задача для стационарной системы уравнений теории упругости с постоянными коэффициентами Ламе и переменным матричным коэффициентом, зависящим от пространственных переменных и частоты. Правая часть содержит дельта-функцию, носитель которой (источник) меняется в некоторой области, не пересекающейся с носителем переменного коэффициента. Обратная задача состоит в нахождении коэффициента по рассеянной волне, измеренной в той же точке, из которой исходит возмущение. Доказана теорема единственности. Доказательство основано на сведении обратной задачи к семейству уравнений с потенциалом М. Рисса.

Получено необходимое и достаточное условие того, что данный набор элементов свободно порождает свободную ассоциативную алгебру. Представлены некоторые необходимые условия примитивности элемента свободной ассоциативной алгебры ранга 2.

Рассматривается задача об определении коэффициентов диэлектрической проницаемости и проводимости, входящих в систему уравнений Максвелла. В качестве информации задаются следы касательных компонент электромагнитного поля на боковой поверхности цилиндрической области. Установлены оценка устойчивости решения рассматриваемой обратной задачи и теорема единственности.

Рассмотрена задача об определении трех коэффициентов c(x), σ(x), q(x) в гиперболическом уравнении. При этом коэффициент c(x) стоит перед оператором Лапласа, σ(x) — перед первой производной по времени, а q(x) — перед младшим членом. К такой задаче приводится обратная задача электродинамики об определении электродинамических параметров изотропной среды в предположении, что свойства среды и внешний ток не зависят от одной из координат. Предполагается, что коэффициенты c(x)-1, σ(x), q(x) малы в некоторой норме и носитель их содержится внутри некоторого круга B. Это эквивалентно предположению, что электродинамические параметры среды близки к постоянным. Принимается, что источник, инициирующий колебания, имеет вид импульсной функции δ(t),δ(x · ν), локализованной на множестве t=0, x · ν=0. Здесь ν — единичный вектор, играющий роль параметра задачи. Электромагнитное поле, вызванное этим источником, приложенным вне B, измеряется в точках границы области B на некотором временном интервале фиксированной длины T, отсчитываемом с момента прихода сигнала от источника для трех различных значений параметра ν. Доказано, что при достаточно большом T задаваемая информация однозначно определяет искомые коэффициенты. Получена оценка условной устойчивости решения рассматриваемой задачи.

Приводится пример обратной задачи для гиперболического уравнения, решение которой существует и единственно в малом, но не существует глобально.

Исследуется обратная спектральная задача для оператора Штурма — Лиувилля с кусочно постоянным коэффициентом A(x) с разрывами в точках xk, k=1, … ,n, и величинами скачков Ak=A(xk+0)/A(xk-0). Показано, что если точки разрыва x1, … ,xn несоизмеримы, т. е. никакая их линейная комбинация с целыми коэффициентами не равна нулю, то спектральная функция данного оператора однозначно определяет все точки разрыва xk и величины скачков Ak. Найден алгоритм, позволяющий находить величины xk, Ak за конечное число шагов.

Рассматриваются матричные операторы свертки с интегрируемыми ядрами на расширяющихся многогранниках. Изучается их связь с операторами свертки на конусах при вершинах многогранников. Доказано, что норма обратного к оператору на многограннике стремится к максимуму норм обратных к операторам на конусах, а псевдоспектр стремится к объединению соответствующих псевдоспектров. Исследование проводится с помощью локального метода, приспособленного к данному кругу задач.

Рассматривается задача об определении коэффициентов при первых производных в гиперболическом уравнении второго порядка. В качестве информации задается след решения вместе с его нормальной производной на боковой поверхности цилиндрической области некоторой прямой задачи для исходного уравнения. Импульсный точечный источник расположен вне области, в которой подлежат определению искомые коэффициенты, и является параметром задачи. Предполагается, что число источников, для которых задается след решения, совпадает с числом определяемых коэффициентов. Основной результат работы — оценка устойчивости решения рассматриваемой обратной задачи.

Устанавливаются неравенства вида $|u;E_1|le V(|u;E|)$, где $E$, $E_1$ — банаховы пространства функций многих переменных, $E_1$ компактно вложено в $E$, $uin goth Msubset E_1$, $V: R_+to R$ — возрастающая функция. Основное внимание уделяется случаю, когда множество $goth M$ задается поточечным дифференциальным неравенством. Приложения посвящены нелинейным эллиптическим краевым задачам, содержащим параметр $lambda $ и имеющим две ветви решений $u_lambda $ $(lambda ge 0)$, $U_lambda $ $(lambda >0)$, первая из которых непрерывна в нуле, а вторая неограниченно растет при $lambda to 0$.