Предложен принцип минимума квадратичного функционала энергии для эллиптической краевой задачи, описывающей процессы переноса с несимметричными тензорными коэффициентами в неоднолистной области. Доказаны существование и единственность обобщенного решения в энергетическом пространстве. Энергетическая норма равна скорости производства энтропии.

Предлагается новый подход к постановке краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений на произвольных римановых многообразиях, основанный на введении классов эквивалентных на многообразии M функций. На основе данного подхода устанавливается взаимосвязь между разрешимостью краевых и внешних краевых задач для стационарного уравнения Шредингера, доказывается справедливость теоремы сравнения и теоремы единственности для решений краевых задач в указанной постановке, кроме того, получены условия, при выполнении которых сохраняется разрешимость краевых задач при изменении коэффициента в уравнении Шредингера.

Получен ряд результатов о разрешимости краевых задач для уравнения вида But - Lu = f (t∈ (0,∞)) в случае, когда оператор B самосопряженный, а оператор L диссипативный в данном гильбертовом пространстве E. Оператор B может иметь ненулевое ядро, а L равномерно диссипативный на M (M — некоторое подпространство конечной коразмерности).

Устанавливаются неравенства вида $|u;E_1|le V(|u;E|)$, где $E$, $E_1$ — банаховы пространства функций многих переменных, $E_1$ компактно вложено в $E$, $uin goth Msubset E_1$, $V: R_+to R$ — возрастающая функция. Основное внимание уделяется случаю, когда множество $goth M$ задается поточечным дифференциальным неравенством. Приложения посвящены нелинейным эллиптическим краевым задачам, содержащим параметр $lambda $ и имеющим две ветви решений $u_lambda $ $(lambda ge 0)$, $U_lambda $ $(lambda >0)$, первая из которых непрерывна в нуле, а вторая неограниченно растет при $lambda to 0$.

Рассматривается краевая задача для нелинейной автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных на полубесконечном интервале. Наложены ограничения на якобиан, при выполнении которых решение задачи существует и единственно. Для переноса краевых условий из бесконечности используется известный подход, основанный на выделении многообразия решений, удовлетворяющих предельному условию на бесконечности. Для решения вспомогательной задачи Коши применяются разложения решения по параметру.

В нецилиндрической области Q = {(x, t) : 0 < t < T, 0< x < α(t)} изучается разрешимость некоторых аналогов первой начально-краевой задачи для уравнений utt - uxx + β ( u, ut ) = f ( x, t ). Функция β ( u, ut ) здесь моделирует функцию a(u) ‌ ut ‌ put, a(u) ≥ 0, p ≥ 0, для функции α (t), определяющей область Q, выполняется условие α (t)> 0 при t ∈ [ 0, T ] и одно из условий 0 ≤ α'(t) ≤ α0 < 1, -1 < -α0 ≤ α'(t) ≤ 0, α'(t) ≥ α0 > 1. Наряду с доказательством теорем существования регулярных решений изучаемых краевых задач, в работе приводятся некоторые результаты о поведении энергетической нормы решения при t → +∞.

Рассматривается уравнение ультрапараболического типа $$ sumlimits _{k=1}^m b_k(t)u_{t_k}= Lambda u+f. $$ Для решений задачи Коши и первой краевой задачи выводятся априорные оценки в специальных пространствах Гёльдера и при помощи метода продолжения по параметру доказывается существование решений этих задач.

An application of boundary analogues of direct variational methods for approximation of the very weak decision of the first boundary value problem for a biharmonic equation is considered in this work. On the basis of a method of least squares, offered in literature [1], a converging, steady boundary analogue of a collocation method having good computing properties is constructed on the boundary 

The boundary analogue of method of least squares for approximation of decision of (k+l)-regular generalized Dirichlet problem for elliptic differential equations arbitrary order in n-dimensional field was built in this work. Convergent and steady boundary analogue of method of collocation which possesses good computational characteristics was built on the basis of the boundary analogue of method of least squares and discretization of scalar product in Wm2(g). Proposed boundary analogues of variation methods take into account the order of a smoothness of data of boundary value problem 

The labour-consuming characters of finite element method is investigated by example of the first boundary problem for the ordinary differential second order equation. The elementary minimal splines are taken as a coordinate function. The estimate of the labour-consuming character of the solution of considered problem is obtained on the singleprocessor computer and on the parallel computational system (by the means of the concept of unlimited parallelism)