В данной работе представлен алгоритм построения приближенных решений краевых задач для полиномиально-нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, таких что одно или оба граничных условия заданы приближенно. Алгоритм основан на введении квадратичного штрафа для приближенно-заданных граничных условий и решении соответствующей задачи на безусловный экстремум. Возникающие при этом нелинейные алгебраические уравнения на коэффициенты разложения решения по подходящему набору базисных функций решаются путем построения лексикографического базиса Гребнера. Показано, что построение такого базиса позволяет развить пертурбативную схему по обратным степеням параметров штрафа. Работа предложенного алгоритма проиллюстрирована на примере одной из краевых задач с использованием системы аналитических вычислений Reduce. Получаемая точность вычислений анализируется в сравнении с некоторыми другими методами решения данной задачи.

В статье доказаны теоремы единственности восстановления краевых условий задачи по её спектру. Показана существенность условий этих теорем.

Построено явное решение краевой задачи о стекании электрического тока с периодических электродов в полупроводниковой плёнке, расположенной в постоянном магнитном поле. Электроды в полупроводнике образуют две периодические системы. С математической точки зрения изучена краевая задача для гармонических функций вне периодических прямолинейных разрезов на плоскости. На разрезах задано граничное условие с косой производной.

В настоящей работе исследуется возможность расщепления линейных и нелинейных сингулярно возмущенных краевых задач на задачи меньшей размерности для медленных и быстрых переменных с помощью метода, предложенного в работе [1]. Изучается вопрос о применимости данного метода в бесконечномерных пространствах.

В статье показано,что конструктивный метод расщепления, предложенный в работе/citeсоб, для некоторых сингулярно возмущенных краевых задач оказывается неприменимым. Для одного класса таких краевых задач доказана теорема о модификации расщепляющего преобразования.

В работе рассматриваются вопросы обоснования метода Фурье для краевых задач математической физики, в которых дифференциальный оператор содержит инволютивное отклонение в частной производной. Получен ряд результатов, гарантирующий корректность применимости метода Фурье.

Алгоритмам построения подвижных адаптивных сеток, автоматически подстраивающимся к особенностям решения задачи, посвящена обширная литература. Однако, насколько нам известно, в литературе отсутствует строгое математическое обоснование сходимости таких алгоритмов к предельным разбиениям, на которых оценка погрешности при заданном количестве узлов будет оптимальной или близкой к оптимальной. В настоящей работе приводятся строгое математическое обоснование сходимости алгоритма адаптации для модельной сингулярно возмущенной задачи.

Целью данной статьи является разработка метода численного решения многоточечных краевых задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений со свободными границами, когда их число и порядок реализации заранее не известны. Применительно к задачам анализа жесткопластических оболочек с кусочно-линейным потенциалом предлагается метод решения такого типа задач.

На основе уравнений уточненной теории, учитывающей деформации поперечного сдвига и инерцию поворота сечений, приводится замкнутое решение неосесимметричной динамической задачи для пологой сферической оболочки из неоднородного материала. Рассматривается наиболее общий случай загружения и упругого закрепления на контуре. Используется метод биортогональных конечных интегральных преобразований. Анализируются различные частные варианты построенного решения.

А.В. Глушко, С.А. Баева. Об одной начально-краевой задаче гидродинамики с разрывными граничными условиями. // Вестник Самарского Государственного Университета, http://ssu.samara.ru/~vestnik/est/, Серия "Физика, Математика", № 2, 2005