В работе рассматривается случайный тригонометрический полином $ T(x)=sum _{j=0}^{n-1}xi _j exp (ijx) $, где ξ , ξ j -- действительные независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевыми средними, с положительными вторыми и конечными третьими абсолютными моментами, и доказывается теорема. Теорема. Для любого ε ∈ (0,1) и при $ n>(C(xi ))^{7654/varepsilon ^3} $ $$ mathsf{Pr} iggl (min _{xin mathbb{T} iggl |sum _{j=0}^{n-1}xi _j exp (ijx) iggr |>n^{-frac {1}{2}+varepsilon }iggr )leq frac {1}{n^{varepsilon ^2/62}}, $$ где константа C( ξ ) определяется в работе. Для доказательства теоремы используется метод нормального порядка и устанавливаются оценки вероятностей событий Ek, k ∈ N, 0 < k < (k0)/2, и их попарных пересечений, причем события Ek определяются случайными векторами X: $$ X=(Re T(x k),ldots ,Re (T (r-1)(x k)/(in) r-1), Im T(x k),ldots ,Im (T (r-1)(x k)/(in) r-1)), $$ где r выбирается как натуральное число, такое что 10/(ε) < r < 11/(ε) для заданного ε, а xk=(2 π k)/(k0), причем k0 -- наибольшее простое, не превосходящее n1-(ε)/20. Для нахождения этих оценок предварительно выводятся неравенства для многочленов, с помощью которых устанавливаются свойства характеристических функций случайных векторов X и их попарных объединений.

Пусть $ mathcal {O}(U) $ -- алгебра Фреше, состоящая из функций, голоморфных в области U ⊂ C, наделенная компактно-открытой топологией. В работе изучаются свойства конечно порожденных $ mathcal {O}(U) $-модулей Фреше, обеспечивающие их свободу. В частности, показано, что любой плоский конечно порожденный $ mathcal {O}(U) $-модуль Фреше свободен.

Доказано, что над полугруппой из n элементов мощности подпрямо неразложимых полигонов не превосходят 2n+1. Далее, если мощности подпрямо неразложимых S-полигонов ограничены в совокупности конечным числом, то S -- периодическая полугруппа. Получено комбинаторное доказательство того факта, что над конечным кольцом существует лишь конечное число унитарных подпрямо неразложимых модулей.

Находятся условия инъективности группы гомоморфизмов $ mathop{Hom} (A,B) $ как модуля над кольцом эндоморфизмов абелевой группы B или A.

Получено необходимое и достаточное условие существования системы различных представителей для полупростых модулей. Доказана соответствующая теорема, являющаяся обобщением теоремы Ф. Холла для множеств. Исследован случай произвольных модулей над ассоциативным кольцом. При доказательстве использовался формализм теории модулей и теории матроидов.

В данной работе вводится несимметричный оператор обобщенного сдвига, с его помощью определяется обобщенный модуль гладкости и для него доказывается прямая и обратная теоремы теории приближений.

В статье рассматриваются максимальные модули Буксбаума над локальным кольцом, исследуются свойства подмодулей, связанных с системами параметров, обобщающие свойства параметрических идеалов в локальном кольце Буксбаума. Доказывается справедливость мономиальной гипотезы для локальных колец, над которыми существуют максимальные модули Буксбаума.

Исследуются смешанные абелевы sp-группы как модули над своими кольцами эндоморфизмов. Рассматриваются эндоплоская и эндопроективная размерности таких групп. Получено полное описание эндопроективных и эндообразующих самомалых смешанных sp-групп конечного ранга без кручения.

Если A -- ограниченное дедекиндово первичное кольцо и M -- A-модуль, то M -- проективный модуль тогда и только тогда, когда M -- p-проективный непериодический модуль, причем либо M -- редуцированный модуль, либо A -- простое артиново кольцо.

Элемент прямого произведения колец р-адических чисел по всем простым числам р принадлежит кольцу R псевдорациональных чисел, если почти все его компоненты равны одному и тому же рациональному числу. Понятие такого кольца ввёл А. А. Фомин. В настоящей работе даётся описание всех инъективных модулей над кольцом псевдорациональных чисел.