Рассмотрена задача о движении ансамбля классических частиц в поле периодического потенциала. Предложен метод генерации направленного баллистического транспорта с помощью осциллирующего по времени и по координате возмущения. Представленный метод позволяет существенно снизить требуемую для генерации потока частиц интенсивность возмущения. В частности, показано, что даже в том случае, когда ансамбль частиц изначально находится вблизи состояний устойчивого равновесия, направленный поток возникает при амплитуде возмущения порядка 10-2 от высоты потенциального барьера. Механизм генерации потока связан с созданием глобальной хаотической диффузии посредством резонансов между пространственными и временными колебаниями возмущения. В качестве примера рассмотрена модель нелинейного маятника.

Установлен достаточный признак асимптотической устойчивости для систем указанного выше класса, в котором условие на разностную производную функции Ляпунова в силу системы ослаблено по сравнению с условием Ляпунова dotnu<0. Получены приложения к анализу устойчивости положений равновесия динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством.

Пусть I — множество индексов, Kα — конечное поле для любого α ∈ I, R= L2(Kα) | α ∈ I и . Доказано, что периодическая группа G, насыщенная группами из множества R (соответственно N), изоморфна L2(P) (соответственно SL2(P)) для подходящего локально конечного поля P.

Рассматриваются квазилинейные системы разностных уравнений с периодическими коэффициентами в линейных членах. Получены оценки области притяжения нулевого решения и установлены неравенства для норм решений. Результаты сформулированы в терминах матричных рядов типа Ляпунова.

Рассматривается квазилинейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами в линейных членах. Получены оценки области притяжения нулевого решения и установлены оценки скорости убывания решений на бесконечности. Результаты сформулированы в терминах интегралов от нормы периодического решения дифференциального уравнения Ляпунова.

Предложен вариант прямого метода Ляпунова для систем указанного в заголовке класса, в котором условие на производную функционала вдоль траекторий системы ослаблено по сравнению с известными результатами для уравнений с произвольными непрерывными коэффициентами.

Получено общее решение одного класса уравнений свертки на комплексном гиперболическом пространстве.

Рассматриваются возмущенные линейные системы разностных уравнений y(n+1) = (A(n) + B(n))y(n), n≥ 0,     (1) где {A(n)} — T-периодическая матричная последовательность, т. е. A(n+T) = A(n), n≥ 0, B(n) — матрица возмущения. Предполагается, что нулевое решение системы x(n+1)=A(n)x(n), n≥ 0, асимптотически устойчиво, т. е. все собственные значения матрицы монодромии X(T) = A(T–1)… A(1)A(0) принадлежат единичному кругу {|λ| < 1}. Получены условия на возмущение B(n), при которых нулевое решение системы будет асимптотически устойчивым, а также установлена непрерывная зависимость одного класса числовых характеристик асимптотической устойчивости решений системы (1) от коэффициентов системы.

Доказано существование сильных решений в пространствах Соболева и Гельдера для одной новой краевой задачи, возникшей недавно в физике, для нелинейного интегродифференциального уравнения с частными производными типа Фоккера — Планка, которое может рассматриваться как параболическое уравнение, вырожденное по одной из пространственных переменных. Особенностью нестандартной постановки этой задачи является сочетание неограниченности области, где ищется решение (а также области интегрирования в интегральном члене уравнения), и неограниченности коэффициентов уравнения с периодичностью граничных условий по той пространственной переменной, по которой происходит вырождение уравнения, и специальными свойствами искомых решений, диктуемыми физическим смыслом задачи. Предложено регуляризованное интегропараболическое уравнение, существование и регулярность решения которого установлены авторами ранее, и обоснован предельный переход по параметрам регуляризации.

Об устойчивости решений линейных систем с периодическими коэффициентами