В продолжение исследований, начатых первым из авторов, строятся фундаментальные оператор-функции некоторых классов вырожденных дифференциальных (как обыкновенных, так и в частных производных) и дифференциально-разностных операторов с нётеровым оператором при старшей (по времени) производной в банаховых пространствах. Для достижения поставленной цели используются техника жордановых наборов нётеровых операторов и элементы теории обобщенных функций в банаховых пространствах.

В работе изучаются линейные непрерывные операторы, коммутирующие с оператором конечного порядка. Доказанные в работе теоремы содержат в себе как частные случаи некоторые известные результаты о линейных операторах, коммутирующих с оператором дифференцирования, а также с оператором обобщённого дифференцирования, действующими в пространствах аналитических функций.

М.С. Гуровская. Метод подобных операторов в спектральном анализе одного класса дифференциальных операторов. // Вестник Самарского Государственного Университета, http://ssu.samara.ru/~vestnik/est/, Серия "Физика, Математика", № 1, 2003

Рассматриваются матричные операторы свертки с интегрируемыми ядрами на расширяющихся многогранниках. Изучается их связь с операторами свертки на конусах при вершинах многогранников. Доказано, что норма обратного к оператору на многограннике стремится к максимуму норм обратных к операторам на конусах, а псевдоспектр стремится к объединению соответствующих псевдоспектров. Исследование проводится с помощью локального метода, приспособленного к данному кругу задач.

При численной стабилизации с помощью граничных условий решений дифференциальных уравнений с частными производными важную роль играют операторы проектирования на подходящие линейные многообразия. В работе рассмотрены два способа проектирования, отличающиеся гладкостью образов исходной гладкой функции: в одном случае в качестве результата получается разрывная, а в другом - непрерывная функция. Анализируются и сравниваются спектральные характеристики обусловленности дискретных операторов проектирования, обсуждаются вопросы их оптимизации. Приводятся численные эксперименты по стабилизации решений уравнений Чафе-Инфанта с начальными функциями, полученными с помощью обоих подходов.

Обсуждается тесная связь формализма Джонса, использующегося в классической поляризационной оптике и при описании поляризационных характеристик одномодовых волоконных световодов, с теорией операторов (матриц) в двухмерном комплексном линейном пространстве. Многие результаты матричной алгебры интерпретированы в терминах поляризационной оптики, и, наоборот, матрицы Джонса рассмотрены и классифицированы на основе теории матриц. Одним из возможных применений полученных результатов является использование их при выводе теорем эквивалентности в поляризационной оптике.

Дубровина Т.В. Оценка приближения операторами Баскакова функций класса W2m+1H1 // Электронный журнал "Исследовано в России", 7, 1836-1844, 2004. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/171.pdf

Показано, что собственные значения оператора, действующего в гильбертовом пространстве, могут быть выделены из точек, принадлежащих числовому образу, по экстремальному свойству соотвтствующего собственного элемента. Для некоторого класса операторов показано, что комплексное число является собственным значением тогда и только тогда, когда его модуль равен спектральному радиусу этого элемента. Числовой образ, будучи выпуклым множеством, полностью определяется своей границей. Существует определенная связь между некоторыми точками на границе и спектральными свойствами оператора. Мы исследуем некоторые чисто геометрические характеристики граничных точек, из которых вытекает, что эти точки являются собственными значениями. Мы показываем, в частности, что некоторые крайние точки являются нормальными собственными значениями. Выяснена полностью роль угловых точек числового образа.

В этой короткой заметке мы описываем границу чилового образа оператора, действующего в гильбертовом пространстве, используя асимптотическое поведение сдвигов оператора. Граница совпадает с отрицательной подерой функции, определяющей перемещение опорной к числовому образу прямой. Во второй части доказано, что пересечение замыканий числовых образов операторов, подобных фиксированному, совпадает с выпуклой оболочкой спектра этого оператора.

Рассмотрены задачи на собственные функции для потенциальных и некоторых близких к ним типов операторов в пространствах Соболева-Слободецкого. Отличительной особенностью рассматриваемых операторов является присутствие нелокального члена - нелинейного псевдодифференциального оператора. Для ограниченной области с регулярной границей с помощью вариационного метода установлено существование по крайней мере одной (нетривиальной) собственной функции, тогда как в случае всего пространства собственных функций может не быть, что показано на конкретных примерах.