Для сингулярно возмущенных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка предложен метод решения, основанный на приближении коэффициентов асимптотического представления решения дифференциальной задачи. Рассмотрены случаи линейных задач с точкой поворота и без точек поворота, задач с разрывной правой частью, задач для квазилинейных уравнений.

Для случая ньютонова потенциала рассматривается метод Бакуса--Джильберта. Пусть распределение массы m на открытом множестве W порождает ньютонов потенциал Um, значения которого заданы на бесконечном множестве точек (yn)n Î N, лежащих вне замыкания $overline{Omega}$ множества W. Назовем распределение масс m0 решением, полученным методом Бакуса--Джильберта, если оно является проекцией распределения m (относительно скалярного произведения в L2(W)) на некоторое подпространство гармонических функций. Это подпространство может быть подпространством всех интегрируемых в квадрате гармонических функций (например, если W -- звездообразная область). Мы изучаем воспроизводящее ядро B, соответствующее этой проекции, то есть $$ m_0(x)=int _{Omega} B(x,y)m(y)dy, $$ для всех m Î L2(W).

Найден класс гладких начальных данных задачи Коши для системы двумерных уравнений гидравлики в приближении Сен-Венана, при которых в течение некоторого конечного времени гладкость решения теряется. Отдельно рассмотрен случай мелкомасштабных движений, когда не существенны скатывающая сила и трение.

Описан класс совместных систем m линейных уравнений с n k-значными неизвестными, имеющих полиномиальную трудоемкость решения, и для числа ν k(n,m) систем класса найдены точная и асимптотические формулы. В частности, при n,m → ∞ так, что m/n=(1-1/k)+ ω n-1/2, где ω → + ∞, почти все совместные системы с матрицей с общим положением столбцов решаются за полиномиальное время.

В статье доказана теорема существования и единственности решения обратной задачи для оператора Штурма--Лиувилля по смеси собственных значений двух краевых задач (Дирихле и Неймана).

Данная работа посвящена рассмотрению стохастического дифференциального уравнения типа Шредингера. В 1988 году было получено нелинейное уравнение Шредингера (в общем виде -- В. П. Белавкиным и в наиболее важном частном случае -- Л. Диози), описывающее эволюцию квантовой системы в условиях непрерывного измерения. В первой части настоящей заметки рассматривается стохастическое уравнение $$ id psi =(-Delta /2-ilambda /4cdot |q|^2+v(q))psi dt+ isqrt {lambda /2}qpsi dB, $$ (частный случай уравнения Белавкина) и дается явный вид диффузионного процесса, являющегося решением этого уравнения. Это решение представляет собой интеграл по мере Винера. Во второй части настоящей работы этот интеграл представляется в виде предела сходящейся последовательности конечнократных интегралов, которые используются в определении интеграла Фейнмана.

Устанавливается существование классов однозначной разрешимости для систем законов сохранения во множестве глобальных функциональных решений, являющихся предельными точками заданного приближенного метода, обладающего свойствами равномерной слабой аппроксимации и слабой устойчивости.

Построено явное решение краевой задачи в полупространстве для модельного уравнения броуновского движения.

Рассматривается гладкое геометрическое ограничение на управление, при котором предельная задача имеет решение с разрывным управлением, а у возмущенной задачи управление непрерывно. Доказано, что в этом случае решение разлагается в асимптотический ряд, калибровочные функции которого сложным образом зависят от малого параметра.

В работе доказано, что в группах Артина большого типа разрешима проблема обобщенной сопряженности слов, централизатор конечно порожденной подгруппы конечно порожден и существует алгоритм, выписывающий его образующие.